Question

11．如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上，AM=AN=2，P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值是2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 首先利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求出菱形對(duì)角線BD為6$\sqrt{3}$，再作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N交BD于P，此時(shí)MP+NP有最小值．然后根據(jù)勾股定理即可求出MP+NP=M′N=2$\sqrt{7}$．

解答 解：∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，
∴AC=6，BD=6$\sqrt{3}$，
作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N交BD于P，此時(shí)MP+NP有最小值，最小值為M′N的長(zhǎng)．
∵菱形ABCD關(guān)于BD對(duì)稱，
∴BM′=BM，
又∵，∠ABC=60°，
∴△BMM′是等邊三角形，
∴MM′=BM=AB-AM=6-2=4，
∵AB=AD，AM=AN，
∴MN∥BD，
∴$\frac{MN}{BD}$=$\frac{AN}{AD}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴MN=$\frac{1}{3}$×6$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵M(jìn)M′⊥BD，MN∥BD，
∴MM′⊥MN，
∴M′N=$\sqrt{M{N}^{2}+MM{′}^{2}}$=2$\sqrt{7}$
∴MP+NP=M′N=2$\sqrt{7}$，即MP+NP的最小值為2$\sqrt{7}$．
故答案為2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題及菱形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．