Question

如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，且∠AOB=60°，點P為線段BO上任意一點，以AP為邊作等邊三角形APF．連結(jié)BF，求證：BF=OP．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等求出OA=OB，然后判斷出△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AO，∠BAO=60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AF=AP，∠FAP=60°，再求出∠BAF=∠OAP，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△AOP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．

解答：證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=AO，∠BAO=60°，
∵△APF是等邊三角形，
∴AF=AP，∠FAP=60°，
∴∠BAF+∠BAP=∠OAP+∠BAP=60°，
∴∠BAF=∠OAP，
在△ABF和△AOP中，

AB=AO ∠BAF=∠OAP AF=AP

，
∴△ABF≌△AOP（SAS），
∴BF=OP．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并確定出全等的三角形和全等的條件是解題的關(guān)鍵．