Question

如圖1，△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，分別交于AC，AB于D，E，且∠1=∠A
（1）猜想：直線(xiàn)BD與⊙O的位置關(guān)系為

 

，并證明你的猜想．
（2）如圖2，當(dāng)AD：AO=5：3，BC=20cm時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)OD，如圖1，由互余得∠1+∠3=90°，而∠1=∠A，則∠A+∠3=90°，加上∠A=∠2，則∠2+∠3=90°，則根據(jù)切線(xiàn)的判定定理可得直線(xiàn)BD為⊙O的切線(xiàn)；
（2）如圖2，連結(jié)DE，根據(jù)圓周角定理得∠ADE=90°，易證得Rt△ADE∽R(shí)t△BCD，利用相似比得BD=

AE

AD

•BC，然后根據(jù)AD：AO=5：3和BC=20可計(jì)算出BD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）直線(xiàn)BD與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OD，如圖1，
∵∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，
而∠1=∠A，
∴∠A+∠3=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠2，
∴∠2+∠3=90°，即∠ODB=90°，
∴OD⊥BD，
∴直線(xiàn)BD為⊙O的切線(xiàn)．
故答案為相切；
（2）解：如圖2，連結(jié)DE，
∵AE為直徑，
∴∠ADE=90°，
∵∠1=∠A，
∴Rt△ADE∽R(shí)t△BCD，
∴

AD

BC

=

AE

BD

，
∴BD=

AE

AD

•BC，
∵AD：AO=5：3，
∴AD：AE=5：6，
∴BD=

6

5

×20=24（cm）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．