Question

2．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，AE⊥DH于E，BF⊥AE于F，CG⊥BF于F，DH⊥CG于H，且∠ABF=∠BCG=∠CDH=∠DAE=30°．
（1）求證：四邊形EFGH為正方形；
（2）求正方形EFGH的面積．

Answer 1

分析 （1）用垂直于同一條直線的兩直線平行，從而得出四邊形EFGH是平行四邊形，再用一個(gè)角是直角，得出矩形，用全等三角形的性質(zhì)，得出鄰邊相等即可得出正方形；
（2）用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出AF，AE，即可求出正方形EFGH的邊長，即可．

解答 解：（1）∵AE⊥DH，DH⊥CG，
∴AE∥CG，
同理：BF∥DH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AE⊥DH，
∴∠FEH=90°，
∴平行四邊形EFGH是矩形，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
在△ABF和△ADE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠DAE}\\{∠AFB=∠AED=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=DE，BF=DE，
∴FG=FE，
∴矩形EFGH是正方形
（2）在Rt△ABF中，∠ABF=30°，AB=2，
∴AF=1，BF=$\sqrt{3}$，
同理：AE=$\sqrt{3}$，
∴EF=AE-AF=$\sqrt{3}$-1，
∴正方形EFGH的面積=EF2=（$\sqrt{3}$-1）²=4-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題是正方形的判定和性質(zhì)，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，平行線的判定，正方形的面積公式，判斷出四邊形EFGH是正方形是解本題的關(guān)鍵．