Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，CD⊥AB，垂足為D，以BD為一條直角邊向三角形外作第二個等腰Rt△BDE，再以BF為一條直角邊向三角形外作第三個等腰Rt△BFG，如此下去，如果Rt△ABC的斜邊為記為c₁，論上述方法所作的等腰直角三角形的斜邊依次記為c₂、c₃、c₄、…、c_n，則c₂₀₁₅=$\frac{（\sqrt{2}）^{2014}}{{2}^{2013}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的斜邊和直角邊的關(guān)系可得AB=$\sqrt{2}$BC=2，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BD=$\frac{1}{2}$AB=1，進(jìn)而求得BE=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{2}$，同理可得被分成的第三個…第n個等邊三角形斜邊，即可求得等2015個等腰直角三角形的斜邊．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴c₁=2，
∵CD⊥AB，垂足為D，以BD為一條直角邊向三角形外作第二個等腰Rt△BDE，
c₂=$\sqrt{2}$，
再以BF為一條直角邊向三角形外作第三個等腰Rt△BFG，
c₃=1，
如此下去，
c₄=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
…
c_n=2×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1，
∴c₂₀₁₅=2×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁴=$\frac{（\sqrt{2}）^{2014}}{{2}^{2013}}$．
故答案為 $\frac{（\sqrt{2}）^{2014}}{{2}^{2013}}$．

點評 本題考查了等腰直角三角形斜邊和直角邊的關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，求出第n個等腰直角三角形斜邊長是解題的關(guān)鍵．