Question

16．如圖1，在坐標系中，A、B在x軸上，C在y軸的正半軸上，且AC⊥BC，CE平分∠ACO，I為△OCB的內(nèi)心．
（1）求證：BC=BE；
（2）求$\frac{IC}{EC}$的值；
（3）若P（2，-2）在過C、O、B三點的⊙O₁上，如圖2，I為△OCB的內(nèi)心，且IF⊥BC．當⊙O₁變化時，請判斷BF-CF的值改變嗎？若改變，請說明理由；若不改變，請說明理由，并求出其值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)內(nèi)心的概念和三角形的外角的性質(zhì)證明即可；
（2）連接EI和BI，如圖1，易得∠CEO=∠ECB，則有BC=BE，由此可證到△BIE≌△BIC，則有IC=IE，易證∠ECI=45°，即可得到△CEI是等腰直角三角形，就可求出$\frac{IC}{EC}$的z值；
（3）過點I作IM⊥y軸于M，點I作IN⊥x軸于N，連接IC，IO，IB，O₁O，O₁P，如圖2，易證△CMI≌△CFI，則有CM=CF．同理可得OM=ON，BN=BF，從而有BF-CF=OB-OC．設(shè)點O₁的坐標為（a，b），則OB=2a，OC=2b．根據(jù)兩點之間距離公式可得a-b=2，就可求出BF-CF的值

解答 （1）證明：∵CE平分∠ACO，
∴∠ACE=∠OCE，
∵AC⊥BC，CO⊥AB，
∴∠A=∠OCB，
∴∠BCE=∠OCE+∠BCO=∠ACE+∠A=∠CEB，
∴BC=BE；
（2）連接EI和BI，如圖1，
∵AC⊥BC，即∠ACB=90°，
∴∠CBO+∠CAB=90°．
∵∠BOC=90°，
∴∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠CAB=∠BCO．
∵CE平分∠ACO，
∴∠ACE=∠OCE，
∵∠CEO=∠ACE+∠CAB，∠ECB=∠OCE+∠BCO，
∴∠CEO=∠ECB，
∴BC=BE．
∵I為△OCB的內(nèi)心，
∴∠CBI=∠EBI，
在△BIE和△BIC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BE}\\{∠CBI=∠EBI}\\{BI=BI}\end{array}\right.$，
∴△BIE≌△BIC（SAS），
∴IC=IE，
∴∠CEI=∠ECI．
∵CE平分∠ACO，I為△OCB的內(nèi)心，
∴∠ECI=$\frac{1}{2}$∠ACO+$\frac{1}{2}$∠BCO=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴∠CEI=45°，∠CIE=90°，
∴sin45°=$\frac{IC}{EC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）過點I作IM⊥y軸于M，點I作IN⊥x軸于N，連接IC，IO，IB，O₁O，O₁P，如圖2．
∵I為△OCB的內(nèi)心，
∴∠MCI=∠FCI．
在△CMI和△CFI中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCI=∠FCI}\\{∠CMI=∠CFI}\\{CI=CI}\end{array}\right.$，
∴△CMI≌△CFI，
∴CM=CF．
同理可得：OM=ON，BN=BF，
∴BF-CF=BN-CM=OB-OC．
設(shè)點O₁的坐標為（a，b），
則OB=2a，OC=2b．
∵P（2，-2），O（0，0），O₁P=O₁O，
∴根據(jù)兩點之間距離公式可得：
（a-2）²+（b+2）²=（a-0）²+（b-0）²，
整理得a-b=2，
∴BF-CF=2a-2b=2（a-b）=4．
∴BF-CF的值為4．

點評 本題主要考查了直角三角形兩銳角互余、三角形外角的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間距離公式、三角形的內(nèi)心、特殊角的三角函數(shù)值等知識，綜合性比較強，把BF-CF轉(zhuǎn)化為OB-OC，并運用兩點之間距離公式是解決第（2）小題的關(guān)鍵．