Question

20．如圖，用火柴棒搭圖形，第1個圖形用了三根火柴棒搭出了一個等邊三角形，第二個圖形在第一個圖形的基礎(chǔ)上搭了一個每邊是一根火柴棒的平行四邊形，平行四邊形與三角形的公共邊只用一根火柴棒，依次交替搭下去搭出以后各個圖形，記第n個圖形用了a_n根火柴棒．

（1）填表：

n	an	n	an
1	3	2	6
3	8	4	11
5	13	6	16

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，小明說：a_n=5n+3，小亮說：a_n=$\frac{5n+1}{2}$．你認(rèn)為他們誰說得對？
     并求當(dāng)n為偶數(shù)時的a_n（用含n的代數(shù)式表示）．
（3）a_n是否可取下列各值：2016，2015？若可取，求出此時n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形的變化，可知偶數(shù)下標(biāo)比前一個圖形多3根，奇數(shù)下標(biāo)比前一個圖形多2根，套入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)圖形的變化，可知偶數(shù)下標(biāo)比前一個圖形多3根，奇數(shù)下標(biāo)比前一個圖形多2根，將n分奇偶處理，看1到n中有多少個偶數(shù)和奇數(shù)，從而得出結(jié)論；
（3）令a_n=2016，a_n=2015，套用（2）得出的結(jié)果即可結(jié)論．

解答 解：根據(jù)圖形的變化，可知圖2比圖1多3根火柴棒，圖3比圖2多2根火材棒，圖4比圖3多3根火柴棒…，即多的數(shù)目3、2交替．
（1）a₃=a₂+2=6+2=8，a₄=a₃+3=8+3=11，a₅=a₄+2=11+2=13，a₆=a₅+3=13+3=16．
故答案為：8；11；13；16．
（2）a₁=3=1+2．
當(dāng)n為奇數(shù)時，1到n中有$\frac{n-1}{2}$個偶數(shù)，有$\frac{n+1}{2}$個奇數(shù)，
結(jié)合發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知：a_n=1+$\frac{n+1}{2}$×2+$\frac{n-1}{2}$×3=$\frac{5n+1}{2}$，
故小亮說的正確．
當(dāng)n為偶數(shù)時，1到n中有$\frac{n}{2}$個偶數(shù)，有$\frac{n}{2}$個奇數(shù)，
結(jié)合發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知：a_n=1+$\frac{n}{2}$×2+$\frac{n}{2}$×3=$\frac{5n+2}{2}$．
（3）令a_n=2016，即$\frac{5n+1}{2}$=2016，或$\frac{5n+2}{2}$=2016，
解得：n=$\frac{4031}{5}$，或n=806；
令a_n=2015，即$\frac{5n+1}{2}$=2015，或$\frac{5n+2}{2}$=2015，
解得：n=$\frac{4029}{5}$，或n=$\frac{4028}{5}$．
綜上可知，a_n能取2016，此時n的值為806．

點(diǎn)評 本題考查了圖形的變化，解題的關(guān)鍵是：發(fā)現(xiàn)“偶數(shù)下標(biāo)比前一個圖形多3根，奇數(shù)下標(biāo)比前一個圖形多2根”．本題屬于中檔題型，有點(diǎn)難度，難點(diǎn)再與如何去尋找規(guī)律，做形如此類題型時，不妨將數(shù)據(jù)分成奇偶兩組來討論．