Question

如圖，在四邊形OACB中，CM⊥OA于M，現(xiàn)有：
①∠1=∠2；②CA=CB；③∠3+∠4=180゜；④OA+OB=20M，
若把其中任兩個(gè)作為條件，都可得出另兩個(gè)結(jié)論．
（1）已知：①②，求證：③④； 
（2）已知：①③，求證：②④；
（3）已知：①④，求證：②③；
（4）已知：②③，求證：①④．

Answer 1

分析：（1）首先證明Rt△ECB≌Rt△MCA，進(jìn)而得出Rt△ECO≌Rt△MCO，再利用全等三角形的性質(zhì)得出答案即可；
（2）首先證明△ECB≌△MCA，進(jìn)而證明Rt△ECO≌Rt△MCO，再利用全等三角形的性質(zhì)得出答案即可；
（3）首先證明Rt△ECO≌Rt△MCO，進(jìn)而證明△ECB≌△MCO，再利用全等三角形的性質(zhì)得出答案即可；
（4）首先證明△ECB≌△MCA，進(jìn)而證明Rt△EOC≌Rt△MOC，再利用全等三角形的性質(zhì)得出答案即可．

解答：證明：（1）作CE⊥OB于E，
∵∠1=∠2，
∴CE=CM，
在Rt△ECB和Rt△MCA中，

EC=MC CB=CA

，
∴Rt△ECB≌Rt△MCA（HL），
∴∠3=∠EBC，BE=AM，
在Rt△ECO和Rt△MCO中，

CO=CO EC=CM

，
∴Rt△ECO≌Rt△MCO（HL）
∴EO=OM，
∵∠EBC+∠4=180°，
∴∠3+∠4=180°；
∴OA+OB=OM+AM+BO=OM+EB+BO=2OM；

（2）作CE⊥OB于E，
∵∠1=∠2，
∴CE=CM，
∵∠EBC+∠4=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠3=∠EBC，
在△ECB和△MCA中，

∠3=∠EBC ∠BEC=∠AMC=90° EC=CM

，
∴△ECB≌△MCA（AAS），
∴CB=AC，EB=AM，
在Rt△ECO和Rt△MCO中，

CO=CO EC=CM

，
∴Rt△ECO≌Rt△MCO（HL）
∴EO=OM，
∴OA+OB=OM+AM+BO=OM+EB+BO=2OM；

（3）作CE⊥OB于E，
∵∠1=∠2，
∴CE=CM，
在Rt△ECO和Rt△MCO中，

CO=CO EC=CM

，
∴Rt△ECO≌Rt△MCO（HL）
∴EO=OM，
∵OA+OB=20M，
∴BE=AM，
在△ECB和△MCA中，

BE=AM ∠BEC=∠AMC EC=CM

，
∴△ECB≌△MCO（SAS）
∴CA=BC，∠3=∠EBC，
∴∠3+∠4=180゜；

（4）∵∠3+∠4=180゜，∠4+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠3，
在△ECB和△MCA中，

∠CEB=∠CMA ∠EBC=∠3 BC=AC

，
∴△ECB≌△MCA（AAS），
∴EC=MC，BE=AM，
∵CM⊥OA，CE⊥OB，
∴∠1=∠2，
在Rt△EOC和Rt△MOC中，

OC=OC EC=MC

，
∴Rt△EOC≌Rt△MOC（HL），
∴OM=OE，
∴OA+OB=20M．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定是解題關(guān)鍵．