Question

如圖，在△ABC中，AD，BE分別∠BAC，∠ABC的角平分線，
（1）若∠C=70°，求∠BED的度數(shù)；
（2）∠BED=45°，求∠C的度數(shù)；
（3）猜想∠BED與∠C的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的角平分線、中線和高

專題：

分析：（1）由∠C=70°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠BAC+∠ABC=110°，由AD，BE分別∠BAC，∠ABC的角平分線，可求∠BAD+∠ABE=

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（∠BAC+∠ABC）=55°，然后由外角的性質可求∠BED的度數(shù)；
（2）由∠BED=45°，利用外角的性質可求∠BAD+∠ABE=∠BED=45°，由AD，BE分別∠BAC，∠ABC的角平分線，可得∠BAC+∠ABC=2（∠BAD+∠ABE）=90°，然后利用三角形的內(nèi)角和定理可求∠C的度數(shù)；
（3）由外角的性質可得∠BED=∠BAD+∠ABE，由角平分線的性質可得∠BAD+∠ABE=

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（∠BAC+∠ABC），由三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC+∠ABC=180°-∠C，所以∠BED=∠BAD+∠ABE=

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2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

（180°-∠C）=90°-

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2

∠C．

解答：解：（1）∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=70°，
∴∠BAC+∠ABC=110°，
∵AD，BE分別∠BAC，∠ABC的角平分線，
∴∠BAD+∠ABE=

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（∠BAC+∠ABC）=55°，
∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠BAD+∠ABE=55°；
（2）∵∠BED是△ABE的外角，∠BED=45°，
∴∠BAD+∠ABE=∠BED=45°，
∵AD，BE分別∠BAC，∠ABC的角平分線，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠BAD+∠ABE）=90°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=180°-（∠BAC+∠ABC）=180°-90°=90°；
（3）∠BED=90°-

1

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∠C．
∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠BAD+∠ABE，
∵AD，BE分別∠BAC，∠ABC的角平分線，
∴∠BAD+∠ABE=

1

2

（∠BAC+∠ABC），
∵∠BAC+∠ABC=180°-∠C，
∴∠BED=∠BAD+∠ABE=

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2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

（180°-∠C）=90°-

1

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∠C．
即：∠BED=90°-

1

2

∠C．

點評：此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質及角平分線的性質，綜合利用這些知識點進行一步一步的推理是解題的關鍵．