Question

如圖所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中點，AB=AC，AD=AE，求證：AM⊥CD．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：延長AM到F，使MF=AM，交CD于點N，構(gòu)造平行四邊形，利用條件證明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF=∠ACD，再結(jié)合條件可得到∠ANC=90°，可證得結(jié)論．

解答：證明：延長AM到F，使MF=AM，交CD于點N，
∵BM=EM，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴BF=AE，∠ABF+∠BAE=180°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAD+∠BAE=180°，
∴∠ABF=∠CAD，
∵BF=AE，AD=AE，
∴BF=AD，
在△ABF和△CAD中，

BF=AD ∠ABF=∠CAD AB=AC

，
∴△ABF≌△CAD（SAS），
∴∠BAF=∠ACD，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠CAN=90°，
∴∠ACD+∠CAN=90°，
∴∠ANC=90°，
∴AM⊥CD．

點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，通過輔助線構(gòu)造平行四邊形證明三角形全等得到∠BAF=∠ACD是解題的關(guān)鍵．