Question

6．如圖，BC是⊙O的直徑，BF是弦，AD過圓心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，連接DE、FC．
（1）若AE=DE，求∠B的度數；
（2）若BC=10，CF=6，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）先證明△OBD≌△OAE得到OD=OE，∠B=∠A，再利用等腰三角形的性質和三角形外角性質得到∠BOD=2∠B，然后根據三角形內角和定理計算∠B的度數；
（2）作DH⊥BC于H，如圖，利用圓周角定理得∠F=90°，則根據勾股定理得到BF=8，再根據垂徑定理得到BD=DF=4，則可計算出OD=3，所以OE=3，接著利用面積法計算出DH=$\frac{12}{5}$，然后在Rt△ODH中利用勾股定理計算出OH，最后利用勾股定理計算出DE的長．

解答 解：（1）在△OBD和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ODB=∠OEA}\\{∠BOD=∠AOE}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△OBD≌△OAE，
∴OD=OE，∠B=∠A，
∵AE=DE，OD=OE，
∴∠ADE=∠A，∠ODE=∠OED，
∴∠ADE=∠B，
∵∠BOD=∠ODE+∠OED=2∠ODE，
∴∠BOD=2∠B
∴∠B+2∠B=90°，
∴∠B=30°；
（2）作DH⊥BC于H，如圖，
∵BC為直徑，
∴∠F=90°，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
而OD⊥BF，
∴BD=DF=4，
在Rt△ODB中，OD=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴OE=3，
∵$\frac{1}{2}$DH•OB=$\frac{1}{2}$OD•BD，
∴DH=$\frac{12}{5}$，
在Rt△ODH中，OH=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴HE=OH+OE=$\frac{9}{5}$+3=$\frac{24}{5}$，
∴DE=$\sqrt{D{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理和勾股定理．