Question

16．如圖1，已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是射線BC上一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．
（1）連接FC，觀察并猜測tan∠FCN的值，并說明理由；
（2）如圖2，將圖1中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=m，BC=n（m，n為常數(shù)），E是射線BC上一動點(diǎn)（不含端點(diǎn)B），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上，當(dāng)點(diǎn)E沿射線CN運(yùn)動時(shí)，請用含m，n的代數(shù)式表示tan∠FCN的值．   

Answer 1

分析 （1）過F作FH⊥MN于H，由條件可證明△EHF≌△ABE，可證得CH=BE=FH，可求得∠FCH=45°，可求得tan∠FCN=1；
（2）過F作FH⊥MN于H，可證明△EFH≌△AGD，進(jìn)一步可證明△EFH∽△AEB，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{EH}{AB}$=$\frac{FH}{BE}$=$\frac{FH}{CH}$，在Rt△FEH中，由三角函數(shù)的定義可求得答案．

解答 解：
（1）tan∠FCN=1，
理由是：如圖1，作FH⊥MN于H，

∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
在△EHF和△ABE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHF=∠ABE}\\{∠FEH=∠BAE}\\{EF=AE}\end{array}\right.$，
∴△EHF≌△ABE（AAS），
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，
∴tan∠FCH=$\frac{FH}{CH}$=1；

（2）如圖（2）作FH⊥MN于H．

由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
結(jié)合（1）易得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又∵G在射線CD上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
在△EFH和△AGD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FHE=∠GDA}\\{∠FEH=∠DAG}\\{EF=AG}\end{array}\right.$，
∴△EFH≌△AGD（AAS），
∵∠BAE=∠FEH，∠ABE=∠FHE，
∴△EFH∽△AEB，
∴EH=AD=BC=n，∴CH=BE，
∴$\frac{EH}{AB}$=$\frac{FH}{BE}$=$\frac{FH}{CH}$，
∴在Rt△FEH中，tan∠FCN=$\frac{FH}{CH}$=$\frac{EH}{AB}$=$\frac{n}{m}$，
∴當(dāng)點(diǎn)E沿射線CN運(yùn)動時(shí)，tan∠FCN=$\frac{n}{m}$．

點(diǎn)評 本題主要考查矩形、正方形的性質(zhì)及全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)的定義的綜合應(yīng)用．本題是一個類比探究問題，需要調(diào)用處理類比探究的思路（照搬字母，照搬輔助線，照搬思路）來解決問題；要求角度的正切值，首先把角放到直角三角形中，作出需要的輔助線，表達(dá)出角度的正切值；觀察圖形結(jié)構(gòu)，利用“一線三等角”出現(xiàn)全等或相似來轉(zhuǎn)化比例關(guān)系，考慮線段關(guān)系復(fù)雜，采用量化的手段來減輕思維量；照搬第一問的思路去解決第二問，類比不下去時(shí)，需要考慮圖形中有哪些不變特征（一線三等角不變），同時(shí)考慮新增加的條件是什么（點(diǎn)G在射線CD上），找思路解決．