Question

9．如圖1，ABCD為正方形，直線MN分別過AD邊與BC邊的中點，點P為直線MN上任意一點，連接PB、PC分別與AD邊交于E、F兩點，PC與BD交于點K，連接AK與PB交于點G．
●探索發(fā)現(xiàn)  當(dāng)點P落在AD邊上時，如圖2，試探究PB與AK的位置關(guān)系以及PB、PK、AK三者的數(shù)量關(guān)系（直接寫出無需證明）；
●延伸拓展  當(dāng)點P落在正方形外，如圖1，以上兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立請給出證明，如果不成立請說明你的理由；
●應(yīng)用推廣  如圖3，在等腰Rt△ABD中，其中∠BAD=90°，腰長為3，M、N分別為AD邊與BD邊的中點，K為線段DN中點，F(xiàn)為AD邊上靠近于D的三等分點．連接KF并延長與直線MN交于點P，連接PB分別與AD、AK交于點E、G．試求四邊形EFKG的周長及面積．

Answer 1

分析 ●探索發(fā)現(xiàn)  PB⊥AK，PB=PK+AK，只要證明∠3=∠4=90°即可證明PB⊥AK，由△ABK≌△CBK，結(jié)合PB=PC即可解決問題．
●延伸拓展  以上兩個結(jié)論仍然成立，證明方法類似上面．
●應(yīng)用推廣  如圖3中，過點B作AD的平行線交PK延長線與點C，連接CD，利用上面結(jié)論結(jié)合條件即可解決問題．

解答 解：●探索發(fā)現(xiàn)  PB⊥AK，PB=PK+AK；
理由：如圖2中，

∵點P在MN上，根據(jù)對稱性易得∠PBC=∠2且PB=PC，
又∠ABK=∠CBK=45°，
在△BKA和△BKC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠BKA=∠BKC}\\{BK=BK}\end{array}\right.$
∴△ABK≌△CBK，
∴∠2=∠3且AK=CK，
∴∠PBC=∠3．
又∠PBC+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
即PB⊥AK．
∴PB=PC=PK+CK=PK+AK．

●延伸拓展  以上兩個結(jié)論仍然成立，
理由如下：如圖1中，

∵點P在MN上，根據(jù)對稱性易得∠PBC=∠2且PB=PC，
又∠ABK=∠CBK=45°，
在△BKA和△BKC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠BKA=∠BKC}\\{BK=BK}\end{array}\right.$
∴△ABK≌△CBK，
∴∠2=∠3且AK=CK，
∴∠PBC=∠3．
又∠PBC+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
即PB⊥AK．
∴PB=PC=PK+CK=PK+AK．

●應(yīng)用推廣
如圖3中，過點B作AD的平行線交PK延長線與點C，連接CD．

∵FD∥BD，
∴△FDK∽△CBK．
又DK：BK=1：3，
∴FD：BC=1：3．
∵FD：AD=1：3，
∴BC=AD．
∵BC∥AD且AB⊥AD且AB=AD，
∴四邊形ABCD為正方形．
∵PB=PK+AK，
即（PE+BE）=（PF+FK）+AK，又PE=PF，
∴BE=FK+AK．
在Rt△EAB中，∵AE=1，AB=3，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∵AG⊥BE（上一問結(jié)論），
∵Rt△AGE∽Rt△BGA，且相似比為1：3，
設(shè)EG=t，AG=3t，BG=9t，
∴BE=10t=$\sqrt{10}$，
∴$t=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
∴四邊形EFKG的周長=EF+FK+GK+EG=EF+（FK+AK）-AG+EG
=EF+BE-AG+EG=1+10t-3t+t=1+8t=$1+\frac{4}{5}\sqrt{10}$．
過點K作AD垂線，垂足為H，
∵HK∥AB且DK：DB=1：4，
∴KH=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{3}{4}$，
∴S_{四邊形EFGH}=S_△AFK-S_△AEG=$\frac{1}{2}$•AF•KH-$\frac{1}{2}$•AG•EG=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$•3t•t=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形，利用全等三角形或相似三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會利用新知解決問題，學(xué)會輔助線的添加方法，屬于中考壓軸題．