Question

3．如圖，已知Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=5，BO=3，點(diǎn)E、M是線段AB上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），分別過E、M作AO的垂線，垂足分別為K、L．
①△OEK面積S的最大值為$\frac{15}{8}$；
②若以O(shè)E、OM為邊構(gòu)造平行四邊形EOMF，當(dāng)EM⊥OF時(shí)，OK+OL=$\frac{45}{17}$．

Answer 1

分析 ①根據(jù)條件證明△OBA∽△KEA，得到比例式，用含OK的式子表示KE，根據(jù)三角形的面積公式，列出關(guān)于OK的關(guān)系式即可；
②根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出答案．

解答 解：①∵EK⊥OA，∠AOB=90°，
∴△OBA∽△KEA．
∴$\frac{OB}{KE}$=$\frac{OA}{KA}$，
∴$\frac{3}{KE}=\frac{5}{5-OK}$，
∴KE=$\frac{3（5-OK）}{5}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×OK•KE=$\frac{3OK（5-OK）}{10}$，
設(shè)OK=x，則S=$\frac{3x（5-x）}{10}$=-$\frac{3（{x}^{2}-5x）}{10}$，
∴當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時(shí)，S有最大值，最大值為$\frac{15}{8}$；
②解：當(dāng)EM⊥OF時(shí)，平行四邊形EOMF為菱形，OE的取值范圍為$\frac{15\sqrt{34}}{34}$＜OE＜3，
設(shè)OK=a，OL=b，
由（1）得，KE=$\frac{3（5-a）}{5}$，ML=$\frac{3（5-b）}{5}$，
由OE=OM得a²+[$\frac{3（5-a）}{5}$]²=b²+[$\frac{3（5-b）}{5}$]²．
設(shè)y=x²+[$\frac{3（5-x）}{5}$]²=$\frac{34}{25}$x²-$\frac{18}{5}$x+9，
則當(dāng)x₁=a，x₂=b時(shí)，函數(shù)y的值相等．
函數(shù)y的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$
即$\frac{a+b}{2}$=$\frac{45}{34}$
解得a+b=$\frac{45}{17}$，即OK+OL=$\frac{45}{17}$．
故答案為：$\frac{15}{8}$，$\frac{45}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程、二次函數(shù)的知識(shí)，綜合性很強(qiáng)，屬于較難題，需要學(xué)生有綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．