Question

2．操作：折疊紙片，并將折疊后的部分壓平在紙片原來所在平面內(nèi)．
研究一：
（1）將△ABC紙片沿直線MN折疊成圖1的形狀，則∠1、∠2與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為∠1+∠2=2∠A（不需要說明理由）．
（2）將△ABC紙片沿直線MN折成圖2的形狀，則∠1、∠2和∠A之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請?jiān)囍�找出來，并說明理由．
研究二：將四邊形ABCD（AD與BC不平行）沿直線MN折疊成圖3的形狀，則∠1、∠2與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°（請將含∠1、∠2的項(xiàng)放在等式的左邊，其余各項(xiàng)放在等式的右邊），并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）連接AA′構(gòu)造等腰三角形，然后結(jié)合三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行探討證明；
（3）根據(jù)平角的定義以及四邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行探討．

解答 解：（1）如圖1，

由圖形折疊的性質(zhì)可知，∠CNA′=180°-2∠DNA′…①，∠BMA′=180°-2∠A′MN…②，
①+②得，∠BMA′+∠CNA′=360°-2（∠DNA′+∠A′MN）
即∠BMA′+∠CNA′=360°-2（180°-∠A），
故∠1+∠2=2∠A；
（2）∠2-∠1=2∠A．
證明如下：
如圖2，

連接AA′構(gòu)造等腰三角形，
∠BMA′=2∠MA'A，∠CNA'=2∠NA'A，
得∠2-∠1=2∠A，
（3）如圖③，

由圖形折疊的性質(zhì)可知∠1=180°-2∠AMN，∠2=180°-2∠BNM，
兩式相加得，∠1+∠2=360°-2（∠AMN+∠BNM）
即∠1+∠2=360°-2（360°-∠A-∠B），
所以，∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

點(diǎn)評 此題考查三角形的內(nèi)角和定理，注意此類一題多變的題型，基本思路是相同的，主要運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及其推論進(jìn)行證明．