Question

3．已知拋物線C₁：y=x²-2（m-1）x+m²-3m-1
（1）證明：不論m為何值，拋物線圖象的頂點(diǎn)M均在某一直線l的圖象上，求此直線l的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且∠MOP=90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將（2）中的拋物線C₁沿x軸翻折再向上平移1個(gè)單位向右平移n個(gè)單位得拋物線C₂，設(shè)拋物線C₂的頂點(diǎn)為N，拋物線C₂與x軸相交于點(diǎn)A，B（A在B的左邊），且AM∥BN，求n的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法可確定拋物線的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（m-1，-m-2），然后令x=m-1，y=-m-2，然后消去m得到x和y的關(guān)系式即可；
（2）先確定拋物線解析式為y=x²-2x-3，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4），利用旋轉(zhuǎn)的定義，將線段OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段OC，與拋物線相交于點(diǎn)P，如圖1，從而得到點(diǎn)C坐標(biāo)，再求出直線OP的解析式為y=$\frac{1}{4}$x，然后解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用拋物線的幾何變換得到N（n+1，5），拋物線C₂的解析式為y=-（x-n-1）²+5，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖2，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，然后證明Rt△AME∽R(shí)t△BNF，再利用相似比得到關(guān)于n的方程，解方程可得到n的值．

解答 （1）證明：y=x²-2（m-1）x+m²-3m-1=[x-（m-1）]²-m-2，則拋物線的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（m-1，-m-2），
令x=m-1，y=-m-2，
則x+y=-3，
所以直線l的函數(shù)解析式為y=-x-3；
（2）解：當(dāng)m=2時(shí)，拋物線解析式為y=x²-2x-3，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4），
將線段OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段OC，與拋物線相交于點(diǎn)P，如圖1，
則點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，1），設(shè)直線OC的解析式為y=kx，
把C（4，1）代入得4k=1，解得k=$\frac{1}{4}$，
所以直線OP的解析式為y=$\frac{1}{4}$x，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9+\sqrt{273}}{8}}\\{y=\frac{9+\sqrt{273}}{32}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9-\sqrt{273}}{8}}\\{y=\frac{9-\sqrt{273}}{32}}\end{array}\right.$，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{9+\sqrt{273}}{8}$，$\frac{9+\sqrt{273}}{32}$）或（$\frac{9-\sqrt{273}}{8}$，$\frac{9-\sqrt{273}}{32}$）；
（3）解：由題意可知，拋物線C₂的頂點(diǎn)N（n+1，5），則拋物線C₂的解析式為y=-（x-n-1）²+5，
過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖2，
當(dāng)y=0時(shí)，-（x-n-1）²+5=0，解得x₁=n+1-$\sqrt{5}$，x₂=n+1+$\sqrt{5}$，
∴A（n+1-$\sqrt{5}$，0），B（n+1+$\sqrt{5}$，0），
∵AM∥BN，
∴∠MAE=∠NBF，
∴Rt△AME∽R(shí)t△BNF，
∴$\frac{ME}{NF}$=$\frac{AE}{BF}$，即$\frac{4}{5}$=$\frac{1-（n+1-\sqrt{5}）}{n+1+\sqrt{5}-（n+1）}$，
∴n=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和拋物線的幾何變換；會(huì)求拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；利用旋轉(zhuǎn)確定OP的直線解析式是解決（2）小題的關(guān)鍵；利用幾何變換畫出圖象和利用相似比建立等量關(guān)系是解決（3）小題的關(guān)鍵．