Question

5．若關于x的一元二次方程①mx²-2（m+2）x+m+5=0沒有實根，試判斷關于x的方程②（m-5）x²+2（m+2）x+m=0的根的情況．

Answer 1

分析 先根據根的判別式的意義，由一元二次方程mx²-2（m+2）x+m+5=0沒有實數(shù)根得到m≠0且4（m+2）²-4m（m+5）＜0，可解得m＞4，然后分類討論：當m=5時，方程（m-5）x²-2（m+2）x+m=0化為5-12x=0，一元一次方程有一個解；當m＞4且m≠5時，△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)解．

解答 解：∵一元二次方程mx²-2（m+2）x+m+5=0沒有實數(shù)根，
∴m≠0且4（m+2）²-4m（m+5）＜0，解得m＞4，
當m=5時，方程（m-5）x²-2（m+2）x+m=0化為-12x=0，解得x=$\frac{5}{14}$；
當m＞4且m≠5時，△=4（m+2）²-4（m-5）×m=36m+16＞0，此時方程有兩個不相等的實數(shù)解．

點評 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．