Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB邊上且DE⊥BE．
（1）判斷直線AC與△DBE外接圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AD=4，AE=4$\sqrt{2}$，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）先證明BD為△DBE外接圓的直徑，連接OE，再證出∠OEB=∠CBE，由∠CBE+∠CEB=90°，得出∠OEB+∠CEB=90°，即AC⊥OE，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)OD=OE=OB=x，則OA=x+4，根據(jù)勾股定理得出方程，求出半徑，得出AB=8，再證明△AOE∽△ABC，得出比例式$\frac{AO}{AB}=\frac{OE}{BC}$，即可求出BC的長．

解答 解：（1）直線AC與△DBE的外接圓相切；理由如下：
∵DE⊥BE，
∴∠BED=90°，
∴BD為△DBE外接圓的直徑，
取BD的中點(diǎn)O（即△DBE外接圓的圓心），連接OE，如圖所示：
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∵∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠OEB+∠CEB=90°，
即AC⊥OE，
∴直線AC與△DBE的外接圓相切；
（2）設(shè)OD=OE=OB=x，則OA=x+4，
∵AC⊥OE，
∴∠AEO=90°，
根據(jù)勾股定理得：OE²+AE²=OA²，
即x²+（4$\sqrt{2}$）²=（x+4）²，
解得：x=2，
∴OD=OB=2，
∴AB=AD+OD+OB=8，
∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{OE}{BC}$，
即$\frac{6}{8}=\frac{2}{BC}$，
∴BC=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）中，需要根據(jù)勾股定理列出方程和證明三角形相似才能得出結(jié)果．