Question

聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．例：已知PA=PB，則點P為△ABC的準外心（如圖1）．
（1）如圖2，CD為正三角形ABC的高，準外心P在高CD上，且PD=

1

2

AB，求∠APB的度數(shù)．
（2）如圖3，若△ABC為直角三角形，∠C=90°，AB=13，BC=5，準外心P在AC邊上，試探究PA的長．

Answer 1

考點：三角形的外接圓與外心

專題：幾何圖形問題,新定義

分析：（1）利用分類討論：①若PB=PC，②若PA=PC，③若PA=PB，進而求出即可；
（2）利用分類討論：①若PB=PA，②若PA=PC，③若PC=PB，進而求出即可．

解答：解：（1）①若PB=PC，連結(jié)PB，則∠PCB=∠PBC．
∵CD為等邊三角形的高．∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=

3

3

DB=

3

6

AB．
與已知PD=

1

2

AB矛盾，∴PB≠PC．
②若PA=PC，連結(jié)PA，則∠PCA=∠PAC．
∵CD為等邊三角形的高．∴AD=BD，∠PCA=30°，
∴∠PAD=∠PAC=30°，∴PD=

3

3

DA=

3

6

AB．
與已知PD=

1

2

AB矛盾，∴PA≠PC．
③若PA=PB，由PD=

1

2

AB，得PD=BD，
∴∠BPD=45°，
故∠APB=90°；

（2）①若PB=PA，設PA=x，
∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC=12，則CP=12-x，
∴x²=（12-x）²+5²，
∴解得：x=

169

24

，即PA=

169

24

．
②若PA=PC，則PA=6．
③若PC=PB，由圖知，在Rt△PBC中，不可能，
故PA=

169

24

或6．

點評：此題主要考查了勾股定理以及三角形外心的性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．