Question

5．如圖，拋物線y=$\frac{1}{3}$x²+bx+6與y軸相交于點A，與過點A且平行于x軸的直線相交于點B（點B在第一象限），拋物線的頂點C在直線OB上，平移直線OB，使平移后的直線OB與拋物線只有一個交點，則直線OB向右平移了$\frac{3}{4}$個單位．

Answer 1

分析 由條件可△AOB的中位線在對稱軸上，可求得CD的長，可求得C點縱坐標，再根據(jù)頂點的坐標公式可求得b的值，可求得拋物線的解析式，則容易求得C點坐標，可求得直線OB的解析式，

解答 解：設對稱軸于AB交于點E，如圖，

∵A、B關(guān)于直線CD對稱，
∴E為AB中點，
∵CD∥AO，
∴C為OB中點，
∴EC為△AOB的中位線，
∵拋物線解析式為y=$\frac{1}{3}$x²+bx+6，
∴當x=0時，y=6，
∴A點坐標為（0，6），
∴OA=DE=6，
∴EC=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴CD=3，
∵C為拋物線的頂點，
∴拋物線的最小值為3，
∴$\frac{4×\frac{1}{3}×6-^{2}}{4×\frac{1}{3}}$=3，解得b=2或-2，
∵拋物線對稱軸在y軸的右側(cè)，開口向上，
∴b＜0，
∴b=-2，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{3}$x²-2x+6，
∴拋物線對稱軸為x=3，即C點坐標為（3，3），
設直線OB解析式為y=kx，把C點坐標代入可得3=3k，解得k=1，
∴直線OB解析式為y=x，
則可設平移后的直線方程為y=x+m，
聯(lián)立拋物線和平移后的直線方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-2x+6}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y整理可得$\frac{1}{3}$x²-3x+6-m=0，
∵平移后的拋物線與直線只有一個交點，
∴△=0，即（-3）²-4×$\frac{1}{3}$（6-m）=0，解得m=-$\frac{3}{4}$，
∴平移后的直線解析式為y=x-$\frac{3}{4}$，
令y=0，可得x=$\frac{3}{4}$，
∴相當于直線OB向右平移了$\frac{3}{4}$個單位，
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，由條件確定出頂點縱坐標，求得直線OB和拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．