Question

18．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，點M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中點，P是直徑AB上的一動點，若MN=1，則△PMN周長的最小值為5．

Answer 1

分析 作點N關于AB的對稱點N′，連接OM、ON、ON′、MN′，根據軸對稱確定最短路線問題可得MN′與AB的交點即為PM+PN的最小時的點，根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出∠MOB=40°，然后求出∠BON=20°，再根據對稱性可得∠BON′=∠BON=20°，然后求出∠MON′=60°，從而判斷出△MON′是等邊三角形，再根據等腰直角三角形的性質可得MN′=OA，即為PM+PN的最小值，從而求得△PMN周長的最小值．

解答 解：作點N關于AB的對稱點N′，連接OM、ON、ON′、MN′，
則MN′與AB的交點即為PM+PN的最小時的點，PM+PN的最小值=MN′，
∵∠MAB=20°，
∴∠MOB=2∠MAB=2×20°=40°，
∵N是弧MB的中點，
∴∠BON=$\frac{1}{2}$∠MOB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
由對稱性，∠N′OB=∠BON=20°，
∴∠MON′=∠MOB+∠N′OB=40°+20°=60°，
∴△MON′是等邊三角形，
∴MN′=OM=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴△PMN周長的最小值=5．
故答案為：5．

點評 本題考查了軸對稱確定最短路線問題，在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍的性質，作輔助線并得到△AOB′是等腰直角三角形是解題的關鍵．