Question

如圖，?ABCD的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（-1，0），B（0，-2），頂點(diǎn)C、D在雙曲線y=

k

x

上，邊AD交y軸于點(diǎn)E，且四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍．
（1）△AEB與△DEB的面積比為

 

．
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

．
（3）求反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）如圖，連接BD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到：S_△ABD=S_△CBD，然后結(jié)合已知條件“四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍”填空；
（2）分別過C、D作x軸的垂線，垂足為F、G，過C點(diǎn)作CH⊥DG，垂足為H，根據(jù)CD∥AB，CD=AB可證△CDH≌△ABO，則CH=AO=1，DH=OB=2，由此根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）C、D兩點(diǎn)在雙曲線y=

k

x

上，則（m+1）（n-2）=mn，解得m、n的數(shù)量關(guān)系，設(shè)直線AD解析式為y=ax+b（a≠0），將A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解析式，確定E點(diǎn)坐標(biāo)，求S_△ABE，根據(jù)S_{四邊形BCDE}=5S_△ABE，列方程求m、n的值，根據(jù)k=mn求解．

解答：解：（1）如圖，連接BD．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S_△ABD=S_△CBD．
∵四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍，
∴S_△ABE=

1

6

S_{平行四邊形ABCD}=

1

3

S_△ABD，
∴S_△DEB=

2

3

S_△ABD，
∴S_△ABE：S_△DEB=1：2；
故答案是：1：2；

（2）如圖2，過C、D兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為F、G，DG交BC于M點(diǎn)，過C點(diǎn)作CH⊥DG，垂足為H，
∵ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵BO∥DG，
∴∠OBC=∠GDE，
∴∠HDC=∠ABO，
在△CDH與△ABO中，

∠DHC=∠BOA=90° ∠HDC=∠ABO DC=BA

，
∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴CH=AO=1，DH=OB=2．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m+1，n-2）．
故答案是：（m+1，n-2）．

（3）由（2）知，設(shè)C（m+1，n-2），D（m，n），
則（m+1）（n-2）=mn=k，
解得n=2m+2，則D的坐標(biāo)是（m，2m+2），
設(shè)直線AD解析式為y=ax+b（a≠0），將A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得

-a+b=0① ma+b=2m+2②

，
由①得：a=b，代入②得：mb+b=2m+2，
即b（m+1）=2（m+1），解得b=2，
則

a=2 b=2

，
∴y=2x+2，E（0，2），BE=4，
∴S_△ABE=

1

2

×BE×AO=2，
∵S_{四邊形BCDE}=5S_△ABE=5×

1

2

×4×1=10，
∵S_{四邊形BCDE}=S_△ABE+S_{四邊形BEDM}=10，
即2+4×m=10，
解得m=2，
∴n=2m+2=6，
∴k=mn=2×6=12．
則該反比例函數(shù)的解析式為：y=

12

x

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是通過作輔助線，將圖形分割，尋找全等三角形，利用邊的關(guān)系設(shè)雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)面積關(guān)系，列方程求解．