Question

2．如圖，已知菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長AB至點(diǎn)E，使BE=AB，連接CE．
（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；
（2）若∠E=60°，AC=4$\sqrt{3}$，求菱形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的對邊平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后證明得到BE=CD，BE∥CD，從而證明四邊形BECD是平行四邊形；
（2）欲求菱形ABCD的面積，已知AC=4$\sqrt{3}$，只需求得BD的長度即可．利用平行四邊形以及菱形的性質(zhì)可得AC⊥CE，再解直角△ACE求出CE的長度，即為BD的長度．則利用菱形ABCD的面積等于兩對角線乘積的一半即可求解．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE∥CD，
∴四邊形BECD是平行四邊形；

（2）解：∵四邊形BECD是平行四邊形，
∴DB∥CE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠E=∠OBA，
∴AC⊥CE．
在直角△ACE中，∵∠E=60°，AC=4$\sqrt{3}$，
∴CE=$\frac{AC}{tan∠E}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=4．
∵四邊形BECD是平行四邊形，
∴BD=CE=4，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×4=8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形．證明出四邊形BECD是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．