Question

16．已知拋物線y=$\frac{1}{4}$x²與直線y=$-\frac{3}{4}$x+1交于A、B兩點（A在B的左側(cè)）
（1）求A、B兩點的坐標(biāo)．
（2）在直線AB的下方的拋物線上有一點D，使得ABD面積最大，求點D的坐標(biāo)．
（3）把拋物線向右平移2個單位，再向下平移m（m＞0）個單位，平移后的拋物線與x軸交于E、F兩點，直線AB與y軸交于點C．當(dāng)m為何值時，過E、F、C三點的圓的面積最小，最小面積是多少？

Answer 1

分析 （1）直線解析式與二次函數(shù)解析式組成方程組，求得點A，B的坐標(biāo)；
（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得D、E點坐標(biāo)，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）由拋物線平移后為：y=$\frac{1}{4}$（x-2）²-m，其對稱軸是x=2．由于過E、F的圓的圓心必在對稱軸上，要使圓的面積最小，則圓的半徑要最小，即點C到圓心的距離要最短，過C作CG垂直拋物線的對稱軸，垂足為G，則符合條件的圓是以G為圓心，GC長為半徑的圓，求得圓的面積和m的值．

解答 解：（1）聯(lián)立直線與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=-\frac{3}{4}x+1}\end{array}\right.$
解得：x²+3x-4=0，
解得x=-4或x=1．
當(dāng)x=-4時y=4，
當(dāng)x=1時，y=$\frac{1}{4}$；
A點坐標(biāo)為（-4，4），B點坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{4}$）；
（2）如圖1，作DE⊥x軸于E，
設(shè)D（m，$\frac{1}{4}$m²），E（m，-$\frac{3}{4}$m+1），
DE=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m+1．
S_△ABD=S_△ADE+S_BDE
=$\frac{1}{2}$DE•|x_B-x_A|
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m+1）×[1-（-4）]
=-$\frac{5}{8}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{125}{32}$，
當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時，S_最大=$\frac{125}{32}$，
當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時，$\frac{1}{4}$m²=$\frac{1}{4}$×（-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{16}$，
ABD面積最大，點D的坐標(biāo)（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{16}$）；
（3）如圖2，
拋物線平移后為：y=$\frac{1}{4}$（x-2）²-m．其對稱軸是x=2．
由于過E、F的圓的圓心必在對稱軸上，要使圓的面積最小，則圓的半徑要最小，
即點C到圓心的距離要最短，過C作CG垂直拋物線的對稱軸，垂足為G，
則符合條件的圓是以E為圓心，EC=2長為半徑的圓，
其面積為4π，
CG=EG=2，EH=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
OE=OH-HE=2-$\sqrt{3}$，
E點坐標(biāo)為（2-$\sqrt{3}$，0）
把E點坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得
$\frac{1}{4}$×（2-$\sqrt{3}$-2）²-m=0，
解得m=0.75，
m的值0.75．

點評 本題考查了二次方程的綜合運用，運用直線和二次函數(shù)方程求得交點坐標(biāo)，以及通過求二次方程的判別式是否≥0，來判定其是否有解．以及考查拋物線的移動問題．