Question

如圖，AC=BC，∠C=90°，點E在AC上，點F在BC上，CE=CF，連結(jié)AF和BE，點O在BE上，⊙O經(jīng)過點B、F，交BE于點G．
（1）求證：△ACF≌△BCE；
（2）求證：AF是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）利用“SAS”證明△ACF≌△BCE；
（2）連結(jié)OF，如圖，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，由△ACF≌△BCE得到∠A=∠B，則∠B+∠AFC=90°，加上∠B=∠OFB，所以∠OFB+∠AFC=90°，則∠AFO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AF是⊙O的切線．

解答：證明：（1）在△ACF和△BCE中，

CA=CF ∠ACF=∠BCE CF=CE

，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
（2）連結(jié)OF，如圖，
∵△ACF≌△BCE，
∴∠A=∠B，
而∠A+∠AFC=90°，
∴∠B+∠AFC=90°，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠OFB+∠AFC=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OF⊥AF，
∴AF是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．