Question

8．在邊長為4的正方形ABCD中，過點A的直線交邊CD所在直線于點F，交對角線BD所在直線于點E．若DF=2，則BE=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$或8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分類討論：當點F在DC上，如圖1，利用正方形的性質得AB=CD=4，BD=4$\sqrt{2}$，AB∥CD，再證明△DEF∽△BEA，根據(jù)相似三角形的性質得$\frac{2}{4}$=$\frac{DE}{BE}$，則根據(jù)比例的性質可得BE=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$；當點F在CD的延長線上時，如圖2，同樣可得$\frac{2}{4}$=$\frac{DE}{BE}$，則BD=DE，所以BE=2BD=8$\sqrt{2}$．

解答 解：當點F在DC上，如圖1，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=CD=4，BD=4$\sqrt{2}$，AB∥CD，
∵DF∥AB，
∴△DEF∽△BEA，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{DE}{BE}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{DE}{BE}$，
∴$\frac{BE+DE}{BE}$=$\frac{3}{2}$，
∴BE=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$；
當點F在CD的延長線上時，如圖2，
∵DF∥AB，
∴△DEF∽△BEA，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{DE}{BE}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{DE}{BE}$，
∴BD=DE，
∴BE=2BD=8$\sqrt{2}$，
綜上所述，BE的長為$\frac{8\sqrt{2}}{3}$或8$\sqrt{2}$．
故答案為$\frac{8\sqrt{2}}{3}$或8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．也考查了正方形的性質和分類討論思想的運用．