Question

（1）如圖（1），△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CAE=∠B，試說明AE與⊙O相切于點A．
（2）在圖（2）中，若AB為非直徑的弦，∠CAE=∠B，AE還與⊙O相切于點A嗎？請說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得∠ACB=90°，所以∠B+∠BAC=90°，由于∠CAE=∠B，則∠CAE+∠BAC=90°，所以OA⊥AE，則可根據(jù)切線的判定定理得到AE與⊙O相切于點A；
（2）作直徑AD，根據(jù)圓周角定理得到∠B=∠D，則可與（1）中的證明方法一樣得到AE與⊙O相切于點A．

解答：證明：（1）∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
而∠CAE=∠B，
∴∠CAE+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE與⊙O相切于點A；
（2）AE還與⊙O相切于點A．理由如下：
作直徑AD，如圖2，
∴∠D+∠DAC=90°，
∵∠B=∠D，
而∠CAE=∠B，
∴∠CAE+∠DAC=90°，即∠DAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE與⊙O相切于點A．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理．