Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D為垂足，E為AC中點，BE交AD于F．  
（1）求證：

DF

AF

=

EF

BF

；
（2）若四邊形CDFE的面積為8，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）證明DE∥AB，得到△DEF∽△ABF，即可解決問題．
（2）證明S_△ABF=4S_△DEF（設為μ），S_△ABC=4S_△CDE，列出有關面積λ、μ的方程組，解方程組即可解決問題．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD；而AE=CE，
∴DE∥AB，且DE=

1

2

AB；
∴△DEF∽△ABF，
∴

DF

AF

=

EF

BF

．
（2）∵DE∥AB，
∴△ADE與△BDE的面積相等，
∴△AEF與△BDF的面積也相等，設為λ；
∵△DEF∽△ABF，
∴

S△DEF

S△ABF

=(

DE

AB

)2=

1

4

；
∴S_△ABF=4S_△DEF（設為μ），
∴四邊形ABDE的面積=2λ+5μ；
同理可證：S_△ABC=4S_△CDE，
∴S△CDE=

1

3

(2λ+5μ)；
∵S_{四邊形CDFE}=8，
∴μ+

1

3

(2λ+5μ)=8①；
∵BD=CD，
∴S_△ABD=S_△ACD，而S_△BDF=S_△AEF，
∴S_△ABF=S_{四邊形DCEF}=8，
即4μ=8②，
聯(lián)立①②并解得：λ=4，μ=4，
∴△ABC的面積=4μ+2λ+8=32．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質的應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用有關定理來分析、判斷；對綜合的分析問題解決問題的能力、運算求解能力均提出了一定的要求．