Question

已知直線y=

4

3

x+4與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B．又P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P（0，-1），Q（0，k），其中0＜k＜4，再以Q點(diǎn)為圓心，PQ長為半徑作圓，則當(dāng)k取何值時(shí)，⊙Q與直線AB相切？

Answer 1

分析：首先求得A，B的坐標(biāo)，則可以求得OA，OB的長度，易證Rt△BQQ′∽Rt△BAO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可PQ的長．

解答：解：把x=0，y=0分別代入y=

4

3

x+4得

x=0 y=4

  

x=-3 y=0.

∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，4）．
∵OA=3，OB=4，
∴AB=5，BQ=4-k，QP=k+1．當(dāng)QQ′⊥AB于Q′（如圖），
當(dāng)QQ′=QP時(shí)，⊙Q與直線AB相切．
由Rt△BQQ′∽Rt△BAO，得

BQ

BA

=

QQ′

AO

即

BQ

BA

=

QP

AO

．
∴

4-k

5

=

k+1

3

，
∴k=

7

8

．
∴當(dāng)k=

7

8

時(shí)，⊙Q與直線AB相切．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)的求法，以及切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度不大．