Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸、y軸分別交于點A、點B，點A的坐標(biāo)為（3，0），且∠OAB=30°，點C為線段AB上一動點，過點C作CD⊥x軸，垂足為點D．
（1）求直線l的解析式；
（2）若S_梯形OBCD=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，求經(jīng)過點C的反比例函數(shù)解析式；
（3）在第一象限內(nèi)是否存在點P，使P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出OB，即可得到點B坐標(biāo)，從而確定出直線l的解析式；
（2）設(shè)出點C的坐標(biāo)，利用梯形的面積公式確定出點C的坐標(biāo)即可確定出函數(shù)關(guān)系式；
（3）因為∠AOB=90°，所以以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似需分三種情況進行討論：
①當(dāng)∠OBP=90°時，又分△BPO∽△OAB；△BOP∽△OAB；
②當(dāng)∠OPB=90°時，過點O作OP⊥BC于點P，過點P作PM⊥OA于點M．又分△PBO∽△OBA；△POB∽△OBA；
③當(dāng)∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．

解答 解：（1）∵點A的坐標(biāo)為（3，0），
∴OA=3，
在Rt△OAB中，∠OAB=30°，OA=3，
∴OB=$\sqrt{3}$，
∴B（0，$\sqrt{3}$），
設(shè)直線l解析式為y=kx+$\sqrt{3}$，
∴3k+$\sqrt{3}$=0，
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線l解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）由（1）知，直線l解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
∵點C為線段AB上一動點，
∴設(shè)C（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），（0＜m＜3），
∵S_梯形OBCD=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴S_梯形OBCD=$\frac{1}{2}$（OB+CD）×OD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$）m=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴m=4（舍）或m=2，
∴C（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴經(jīng)過點C的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{2\sqrt{3}}{3x}$；

（3）以P，O，B為頂點的三角形與△OBA相似時，分三種情況：
①當(dāng)∠OBP=90°時，如圖1，
．
若△BPO∽△OAB，則∠BPO=∠OAB=30°，BP=$\sqrt{3}$OB=3，
∴P₁（3，$\sqrt{3}$）；
若△BOP∽△OAB，則∠BOP=∠OAB=30°，BP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=1，
∴P₂（1，$\sqrt{3}$）；
②當(dāng)∠OPB=90°時，如圖2．

過點O作OP⊥BA于點P，過點P作PM⊥OA于點M．
若△PBO∽△OBA，則∠BOP=∠BAO=30°，
在Rt△PBO中，BP=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OP=$\sqrt{3}$BP=$\frac{3}{2}$．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{3}{4}$，PM=$\sqrt{3}$OM=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴P₃（$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）；
若△POB∽△OBA，則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴P₄（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
③當(dāng)∠POB=90°時，點P在x軸上，不符合要求．
綜合所述，符合條件的點有四個，分別是：P₁（3，$\sqrt{3}$），P₂（1，$\sqrt{3}$），P₃（$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），P₄（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

點評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)解析式，梯形的面積，解直角三角形，相似三角形的有關(guān)知識，難度適中．運用分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．