Question

20．已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過(guò)D作DE⊥MN于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=2cm，AE=1cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)平行線的判斷方法與性質(zhì)可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切線．
（2）由直角三角形的特殊性質(zhì)，可得AD的長(zhǎng)，又有△ACD∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求得圓的半徑．

解答 （1）證明：連接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．
∴DO∥MN．
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°．
即OD⊥DE．
∵D在⊙O上，OD為⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵∠AED=90°，DE=2cm，AE=1cm，
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
連接CD．
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠AED=90°．
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{AD}$．
∴$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\frac{AC}{\sqrt{5}}$．
解得AC=5．
∴⊙O的半徑是2.5cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的判定、直徑的性質(zhì)、勾股定理切割線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，在圓中學(xué)會(huì)正確添加輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵