Question

20．如圖，正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$在第一象限交于點A，過點A作AB⊥x軸于點B．
（1）求點A的坐標；
（2）若點C在y=$\frac{8}{x}$上（x＞0），過點C作CD⊥x軸于點D，使S_△CBD等于S_△AOB的$\frac{2}{3}$，求C點的坐標；
（3）在y=$\frac{8}{x}$上（x＞0）是否存在點P，過點P作PM⊥x軸于點M，使△PBM與△AOB相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$兩個解析式組成方程組，解方程即可；
（2）設C點的坐標（x，$\frac{8}{x}$），分兩種情況：①當C在點A的右側(cè)時，由三角形的面積關系得出方程$\frac{1}{2}$（x-2）$•\frac{8}{x}$=$\frac{8}{3}$，解方程求出x，即可得出結(jié)果；
②當點C在點A的左側(cè)時，由三角形的面積關系得出方程$\frac{1}{2}$（2-x）•$\frac{8}{x}$=$\frac{8}{3}$，解方程求出x，即可得出結(jié)果；
（3）設點P坐標為（a，$\frac{8}{a}$），分兩種情況：①當$\frac{BM}{AB}=\frac{PM}{OB}$時，得出方程，解方程即可；②當$\frac{BM}{OB}=\frac{PM}{AB}$時，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$（不合題意舍去），
則A（2，4）；
（2）設C點的坐標（x，$\frac{8}{x}$），
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×4=4，S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•CD=$\frac{2}{3}$×4=$\frac{8}{3}$，
分兩種情況：
①當C在點A的右側(cè)時，$\frac{1}{2}$（x-2）$•\frac{8}{x}$=$\frac{8}{3}$，
解得：x=6，
∴$\frac{8}{x}$=$\frac{4}{3}$，
∴C（6，$\frac{4}{3}$）；
②當點C在點A的左側(cè)時，$\frac{1}{2}$（2-x）•$\frac{8}{x}$=$\frac{8}{3}$，
解得：x=$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{8}{x}=\frac{20}{3}$，
∴C（$\frac{6}{5}$，$\frac{20}{3}$）；
綜上所述：C點的坐標為（6，$\frac{4}{3}$）或（$\frac{6}{5}$，$\frac{20}{3}$）；
（3）存在點P，使△PBM與△AOB相似，點P的坐標為（$\sqrt{17}$+1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$）或（$\sqrt{5}$+1，2$\sqrt{5}$-2）．理由如下：
設點P坐標為（a，$\frac{8}{a}$），
∵PM⊥x軸于點M，
∴PMB=90°=∠ABO，
∴分兩種情況：
①當$\frac{BM}{AB}=\frac{PM}{OB}$時，$\frac{a-2}{4}=\frac{\frac{8}{a}}{2}$，
解得：a=1±$\sqrt{17}$（負值舍去），
∴a=$\sqrt{17}$+1，$\frac{8}{a}$=$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$，
∴P（$\sqrt{17}$+1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$）；
②當$\frac{BM}{OB}=\frac{PM}{AB}$時，$\frac{a-2}{2}=\frac{\frac{8}{a}}{4}$，
解得：a=1±$\sqrt{5}$（負值舍去），
∴a=$\sqrt{5}$+1，$\frac{8}{a}$=2$\sqrt{5}$-2，
∴P（$\sqrt{5}$+1，2$\sqrt{5}$-2）；
綜上所述：存在點P，使△PBM與△AOB相似，點P的坐標為（$\sqrt{17}$+1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$）或（$\sqrt{5}$+1，2$\sqrt{5}$-2）．

點評 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)解析式的運用、坐標與圖形性質(zhì)、三角形面積的計算方法、相似三角形的判定、解方程等知識；本題綜合性強，有一定難度，進行分類討論是解決問題的關鍵．