Question

13．若將一個長方形木塊鋸掉一個與它相似的長方形的小木板，剩下的木板為一個面積等于64的正方形，則原長方形的面積是32•（1+$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的面積可求出正方形的邊長，設(shè)AF=a，則AD=AF+DF=8+a，根據(jù)長方形相似可得出關(guān)于a的分式方程，解方程即可求出a的值，再利用長方形的面積公式即可求出長方形的面積．

解答 解：依照題意畫出圖形，如圖所示．
∵CDFE為面積等于64的正方形，
∴AB=CE=DF=8．
設(shè)AF=a，則AD=AF+DF=8+a，
∵長方形ABEF與長方形ADCB相似，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AD}$，即$\frac{a}{8}=\frac{8}{8+a}$，
解得：a=4$\sqrt{5}$-4或a=-4$\sqrt{5}$-4（舍去），
經(jīng)檢驗a=4$\sqrt{5}$-4是方程$\frac{a}{8}=\frac{8}{8+a}$的解．
∴S=AB•AD=8×（8+4$\sqrt{5}$-4）=32•（1+$\sqrt{5}$）．
故答案為：32•（1+$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查了相似多邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出關(guān)于a的分式方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)找出對應線段間的關(guān)系是關(guān)鍵．