Question

3．△ABC為等邊三角形，邊長為a，DF⊥AB．EF⊥AC
（1）求證：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，設(shè)BF=m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并探究當(dāng)m為何值時S取最大值．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=60°，由已知得出∠BDF=∠CEF=90°，即可證出△BDF∽△CEF；
（2）作AM⊥BC于M，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC=4，BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=2，由勾股定理求出AM，得出△ABC的面積；求出∠DFB=∠EFC=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$m，CE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$（4-m），得出DF、EF的長度，求出△BDF和△CEF的面積，由四邊形ADFE面積S=△ABC的面積-△BDF的面積-△CEF的面積，得出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$；化成頂點式，得出當(dāng)m=2時，S取最大值為3$\sqrt{3}$即可．

解答 （1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DF⊥AB．EF⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°，
∴△BDF∽△CEF；
（2）解：作AM⊥BC于M，如圖所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=4，BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∵BF=m，
∴CF=4-m，
∵∠BDF=∠CEF=90°，∠B=∠C=60°，
∴∠DFB=∠EFC=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$m，CE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$（4-m），
∴DF=$\sqrt{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，EF=$\sqrt{3}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m），
∴△BDF的面積=$\frac{1}{2}$BD•DF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$m×$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²，
△CEF的面積=$\frac{1}{2}$CE•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（4-m）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（4-m）²，
∴四邊形ADFE面積S=△ABC的面積-△BDF的面積-△CEF的面積=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（4-m）²=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$，
即S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$；
又∵S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m-2）²+3$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，
∴當(dāng)m=2時，S取最大值為3$\sqrt{3}$．

點評 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計算公式、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問題等知識；熟練掌握相似三角形的判定方法，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式是解決問題（2）的關(guān)鍵．