Question

5．已知：如圖，∠ACD=90°，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)，AC=DC，DB⊥MN于點(diǎn)B．

（1）在圖1中，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，與直線(xiàn)MN于點(diǎn)E，
①依題意補(bǔ)全圖形；
②求證：△BCE是等腰直角三角形；
③圖1中，線(xiàn)段BD、AB、CB滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是BD+AB=$\sqrt{2}$CB；
（2）當(dāng)MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個(gè)位置時(shí)，其它條件不變．
在圖2中，線(xiàn)段BD、AB、CB滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是AB-BD=$\sqrt{2}$CB；
在圖3中，線(xiàn)段BD、AB、CB滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是BD-AB=$\sqrt{2}$CB；
（3）MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠BCD=30°，BD=$\sqrt{2}$時(shí)，則CB=$\sqrt{3}$-1或$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 （1）①依題意補(bǔ)全圖形如圖所示，②判斷出△CAE≌△CDB，即得結(jié)論，③過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，得到∠BCD=∠ACE，判斷出△ACE≌△DCB，確定△ECB為等腰直角三角形即可．
（2）①過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，判斷出△ACE≌△DCB，確定△ECB為等腰直角三角形；②解題思路同（1）③，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，得到△ACE≌△DCB，從而確定△ECB為等腰直角三角形；
（3）由（1）③，得△ACE≌△BCD，CE=BC，得到△BCE為等腰直角三角形，得到BD=$\sqrt{2}$BH=$\sqrt{2}$，求出BH，再用勾股定理即可．

解答 解：（1）①依題意補(bǔ)全圖形如下圖，

②證明：
∵∠ACD=90°，
又∵CE⊥CB，
∴∠ECB=90°=∠ACD，

∴∠1=∠2．
∵DB⊥MN于點(diǎn)B，
∴∠ABD=90°，
∴∠BAC+∠D=180°．
又∵∠BAC+∠EAC=180°，
∴∠D=∠EAC．
∴△CAE≌△CDB，
∴CE=CB．
③如圖（1），

過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN
∴∠ABC+∠CBD=90°，
∵CE⊥CB
∴∠ABC+∠CEA=90°，
∴∠CBD=∠CEA．
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB（AAS），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB．
又∵BE=AE+AB，
∴BE=BD+AB，
∴BD+AB=$\sqrt{2}$CB，
故答案為BD+AB=$\sqrt{2}$CB
（2）①如圖（2），

過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，∠ECB=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠ACE}\\{AC=DC}\\{∠CAE=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB．
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=$\sqrt{2}$CB．
②BD-AB=$\sqrt{2}$CB．
如圖（3），

過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，∠BCE=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠ACE}\\{AC=DC}\\{∠CAE=∠D}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB．
又∵BE=AE-AB，
∴BE=BD-AB，
∴BD-AB=$\sqrt{2}$CB．
故答案為AB-BD=$\sqrt{2}$CB和BD-AB=$\sqrt{2}$CB．
（3）①如圖4，

由（1）③，得△ACE≌△BCD，CE=BC，
∴△BCE為等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°=∠CBE=∠DBC，
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}$BH=$\sqrt{2}$，
∴BH=DH=1，
在Rt△CDH中，∠BCD=30°，BH=1，
∴CH=$\sqrt{3}$，
∴BC=CH+BH=$\sqrt{3}$+1；
②如圖5，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)與H，

同①的方法，得，CH=$\sqrt{3}$，BH=1，
∴BC=CH-BH=$\sqrt{3}$-1．
故答案為$\sqrt{3}-1$或$\sqrt{3}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等．解本題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)．