Question

平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-3,0），（0,3），對(duì)稱軸直線交軸于點(diǎn)E,點(diǎn)D為頂點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上一點(diǎn)，且,，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且∠MAC=∠ADE，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

 

 

Answer 1

（1）y=-x2-2x+3；（2）（-4，-5）或（1，0）；（3）（，）．

【解析】

試題分析：（1）由已知中點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，3），對(duì)稱軸為直線x=-1，得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用交點(diǎn)式求出即可求出拋物線的解析式；

（2）由已知中C點(diǎn)坐標(biāo)，再假設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，可求出直線PC解析式，求出R點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)S△PAC=2S△DAC，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE交DE于點(diǎn)H，設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)G，AM交y軸于點(diǎn)N，由∠MAC=∠ADE，可得N點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出CN的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程可得M點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）由對(duì)稱軸x=-1，A（-3，0），可得B點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）

設(shè)y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得，4=-8a，

解得：a=-1，

所求解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）如圖：y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，頂點(diǎn)D（-1，4），

由A（-3，0）、C（0，3），得直線AC解析式為y=x+3；

設(shè)對(duì)稱軸交AC于點(diǎn)G，則G（-1，2），∴S△DAC=（4-2）×3=3，

設(shè)P點(diǎn)（m，-m2-2m+3），

設(shè)PC解析式為：y=qx+p，

∴，

解得：k=-m-2，

∴PC解析式為：y=（-m-2）x+3，

設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)R，

∴R（，0），

∴AR=3+，

∴S△APR+S△CAR=（3+）×（m2+2m-3）+×（3+）×3=+，

則S△PAC=+，

由S△PAC=2S△DAC，∴+=2×3，

解得：m1=-4，m2=1，

把m1=-4，m2=1分別代入y=-x2-2x+3中，

∴y1=-5，y2=0，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-5）或（1，0）；

（3）由以上可得出：D（-1，4），C（0，3），E（-1，0），

如備用圖：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE交DE于點(diǎn)H，

∴H（-1，3），CH=DH=1，∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°，

∴CD=，AC=3，△ACD為直角三角形，且tan∠DAC=．

設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)G，AM交y軸于點(diǎn)N，

∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°，∠ADE=∠CAM，∠DAC=∠MAO，

∴tan∠MAO=．

∵A（-3，0），

∴ON=1，即N（0，1），

設(shè)直線CN解析式為：y=dx+h

∴，

解得：，

∴直線CN解析式為y=x+1，

聯(lián)立方程

得：x=-3（舍）或x=，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．