Question

14．用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，把x-[x]稱為x的小數(shù)部分，已知t=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$，a是t的小數(shù)部分，b是-t的小數(shù)部分，則$\frac{1}{2b}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 結(jié)合定義找出[t]和[-t]，由a是t的小數(shù)部分，b是-t的小數(shù)部分，表示出a、b套入$\frac{1}{2b}$-$\frac{1}{a}$即可得出結(jié)論．

解答 解：t=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}$=2+$\sqrt{3}$，
∴[t]=3，[-t]=-4．
∵是t的小數(shù)部分，b是-t的小數(shù)部分，
∴a=2+$\sqrt{3}$-3=$\sqrt{3}$-1，b=-（2+$\sqrt{3}$）-（-4）=2-$\sqrt{3}$．
$\frac{1}{2b}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2（2-\sqrt{3}）}$-$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}$-$\frac{\sqrt{3}+1}{（\sqrt{3}-1）（\sqrt{3}+1）}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了估算無理數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是找出a、b．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，但在運(yùn)算過程中用到了使用平方差公式將分母有理化，此處需要注意別出現(xiàn)差錯．