Question

12．如圖，在?ABCD中，過A、B、D三點的⊙O交BC于點E，連接DE，∠CDE=∠DAE．
（1）求證：DE=DC；
（2）求證：直線DC是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，AB=DC，進而證得∠DAE=∠AEB，證出$\widehat{DE}$=$\widehat{AB}$，即可得出DE=DC；
（2）作直徑DF，連接EF，則∠EFD=∠EAD，證出∠EFD=∠CDE，再由DF是⊙O的直徑，得出∠DEF=90°，得出∠FDC=90°，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB=DC，
∴∠DAE=∠AEB．
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{AB}$，
∴AB=DE，
∴DE=DC；
（2）解：如圖所示：作直徑DF，連接EF．
則∠EFD=∠EAD，
∵∠CDE=∠DAE，
∴∠EFD=∠CDE．
∵DF是⊙O的直徑，
∴∠DEF=90°，
∴∠EFD+∠FDE=90°，
∴∠CDE+∠FDE=90°
∴∠FDC=90°．
∴直線DC是⊙O的切線．

點評 本題考查了切線的判定、平行四邊形的性質、圓周角定理；熟練掌握切線的判定方法，并能進行有關推理計算是解決問題的關鍵．