Question

7．【問題】（1）如圖①，邊長為3cm的兩個相同的正方形紙片重疊放置，重疊部分為正方形，兩個正方形兩條邊的交點分別為點A，C，當CD=1cm時，陰影部分的面積為5cm²．
（2題（1）中，設(shè)兩個正方形的邊長都是n（cm）（n＞1），當CD=1cm時（圖②），陰影部分的面積為n²-（n-1）²cm²（用n來表示）．
【應用】如圖③，12×12cm的方格紙中，每個小正方形的邊長都是1cm，現(xiàn)用邊長為n（cm）（n是正整數(shù)）的大小相同的黑白兩種正方形紙片沿對角線方向重疊放置蓋住方格紙，重疊部分為正方形且邊長都是（n-1）cm（2≤n≤12），第一張紙片放置方格紙的左上角，蓋住的面積為n²（cm²），最后一張紙片放置方格紙的右下角，需要的正方形紙片的總數(shù)為y（張）．
（1）當n=2時，y=11；
（2）當n=3時，y=10；
（3）求y與n之間的函數(shù)關(guān)系式．
【探究】方格紙中，被蓋住的面積為S₁，未蓋住的面積為S₂，是否存在使S₁=S₂的n的值？若存在，求n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 【問題】（1）（2）：圖①②中，用原有一塊正方形的面積減去一個重合的小正方形的面積即可求解，
【應用】：圖③，（1）當n=2時，計算正方形的張數(shù)，可先云去掉最下面的一張，再來計算需要小正方形的紙片數(shù)，依次每向上一行需要一張紙片共10行，所以共用紙片10+1=11張；（2）當n=3時，計算方法相同，共用紙片數(shù)為9+1=10張；（3）當n=n時，共用的紙片數(shù)為12-n+1=13-n，即y=13-n；
【探究】歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律．

解答 （1）根據(jù)題意，當n=2時，可得應蓋住正方形有ABCD對角線上的12個格，
∴y=12-2+1=11，
（2）當n=3時，可得應蓋住正方形有ABCD對角線上的13個格，
∴y=12-3+1=10，
故答案為：（1）11，（2）10
（3）當n=n時，可得應蓋住正方形有ABCD對角線上的13個格，
∴y=12-n+1=13-n，
探究：第一個面積為n²，第二個面積為一個包邊，共有12-n個，每個由2n-1個小正方形構(gòu)成，包邊的總面積為：（12-n）×（2n-1），
∴①S₁=10×3+4=34，S₂=144-34=110，
∴S₁：S₂=34：110=17：55．
②根據(jù)題意，得
${S}_{1}=（12-n）×（2n-1）+{n}^{2}$；
${S}_{2}=144-（12-n）×（2n-1）-{n}^{2}$，
若S₁=S₂時，
（12-n）×（2n-1）+n²=144-（12-n）×（2n-1）-n²，
解，得n=4或21．
∵2≤n≤11，
∴∴n=21舍去，
故n=4．

點評 本題是歸納與總結(jié)類題目，對于幾何類題目根據(jù)圖形的特征是解答問題的關(guān)鍵．