Question

3．圖1、圖2分別由兩個長方形拼成．

（1）圖1中圖形的面積為a²-b²，圖2中圖形的面積為（a-b）×（a+b）；（用含有a、b的代數式表示）
（2）由（1）可以得到等式：a²-b²=（a+b）（a-b）；
（3）根據你得到的等式解決下列問題：
 ①計算：68.5²-31.5² ②若m+4n=2，求（m+1）²+（2n+1）²-m²-（2n-1）²的值．

Answer 1

分析 （1）圖2面積根據長方形面積公式可得；
（2）根據兩個圖形的面積相等可得；
（3）①直接套用公式a²-b²=（a-b）（a+b）可得；②將原式變形為[（m+1）²-m²]+[2n+1）²（2n-1）²]，再套用平方差公式可得答案．

解答 解：（1）圖1中圖形的面積為a²-b²，圖2中圖形的面積為（a-b）×（a+b），
故答案為：a+b；

（2）根據兩個圖形的面積相等可得a²-b²=（a-b）（a+b），
故答案為：a²-b²=（a-b）（a+b）；

（3）①68.5²-31.5²=（68.5-31.5）（68.5+31.5）=35×100=3500；
②（m+1）²+（2n+1）²-m²-（2n-1）²=[（m+1）²-m²]+[2n+1）²（2n-1）²]
=[（m+1-m）（m+1+m）]+[（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）]
=2m+1+8n
=4+1
=5．

點評 本題主要考查平方差公式的幾何背景，運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋．