Question

9．觀察思考：如圖，A、B是直線a上的兩個定點，點C、D在直線b上運動（點C在點D的左側），AB=CD=4cm．已知a∥b，a、b間的距離為$\sqrt{3}$cm，連接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折疊得△A₁BC．
（1）當A₁、D兩點重合時，則 AC=4cm．
（2）當A₁、D兩點不重合時，
①連接A₁D，探究A₁D與BC的位置關系，并說明理由．
②若以A₁、C、B、D為頂點的四邊形是矩形，畫出示意圖并直接寫出AC的長．

Answer 1

分析 （1）當A₁、D兩點重合時，可以證到四邊形ACDB是菱形，從而得到AC=AB=4cm．
（2）①過點A₁作A₁E⊥BC，垂足為E，過點D作DF⊥BC，垂足為F，如圖2，可以證到S_△DBC=S_△ABC=S_△A1BC，從而得到DF=A₁E，由A₁E⊥BC，DF⊥BC可以證到A₁E∥DF，從而得到四邊形A₁DFE是平行四邊形，就可得到A₁D∥BC．②若以A₁、C、B、D為頂點的四邊形是矩形，則有三個位置，分別是圖3①、圖3②、圖3③．對于圖3①、圖3②，過點C作CH⊥AB，垂足為H，運用相似三角形的性質建立方程就可求出AH，然后運用勾股定理就可求出AC的長；對于圖3③，直接運用勾股定理就可求出AC的長．

解答 解：（1）當A₁、D兩點重合時，如圖1①和圖1②，


∵CD∥AB，CD=AB，
∴四邊形ACDB是平行四邊形．
∵△ABC沿BC折疊得△A₁BC，A₁、D兩點重合，
∴AC=A₁C=DC．
∴平行四邊形ACDB是菱形．
∴AC=AB=4（cm）．
故答案為：4．

（2）當A₁、D兩點不重合時，
①A₁D∥BC．
證明：過點A₁作A₁E⊥BC，垂足為E，過點D作DF⊥BC，垂足為F，如圖2，

∵CD∥AB，CD=AB，
∴四邊形ACDB是平行四邊形．
∴S_△ABC=S_△DBC．
∵△ABC沿BC折疊得△A₁BC，
∴S_△ABC=S_△A1BC．
∴S_△DBC=S_△A1BC．
∴$\frac{1}{2}$BC•DF=$\frac{1}{2}$BC•A₁E．
∴DF=A₁E．
∵A₁E⊥BC，DF⊥BC，
∴∠A₁EB=∠DFB=90°．
∴A₁E∥DF．
∴四邊形A₁DFE是平行四邊形．
∴A₁D∥EF．
∴A₁D∥BC．
②Ⅰ．如圖3①，

過點C作CH⊥AB，垂足為H，此時AH＜BH．
∵四邊形A₁DBC是矩形，
∴∠A₁CB=90°．
∵△ABC沿BC折疊得△A₁BC，
∴∠ACB=∠A₁CB．
∴∠ACB=90°．
∵CH⊥AB，
∴∠AHC=∠CHB=90°．
∴∠ACH=90°-∠HCB=∠CBH．
∴△AHC∽△CHB．
∴$\frac{AH}{CH}$=$\frac{CH}{BH}$．
∴CH²=AH•BH．
∵AB=4，CH=$\sqrt{3}$，
∴3=AH•（4-AH）．
解得：AH=1或AH=3．
∵AH＜BH，
∴AH=1．
∴AC²=CH²+AH²=3+1=4．
∴AC=2．
Ⅱ．如圖3②，

過點C作CH⊥AB，垂足為H，此時AH＞BH．
同理可得：AH=3．
∴AC²=CH²+AH²=3+9=12．
∴AC=2$\sqrt{3}$．
Ⅲ．如圖3③，

∵四邊形A₁DCB是矩形，
∴∠A₁BC=90°．
∵△ABC沿BC折疊得△A₁BC，
∴∠ABC=∠A₁BC．
∴∠ABC=90°．
∴AC²=BC²+AB²=3+16=19．
∴AC=$\sqrt{19}$．
綜上所述；當以A₁、C、B、D為頂點的四邊形是矩形時，AC的長為2或2$\sqrt{3}$或$\sqrt{19}$．

點評 本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、矩形的性質、軸對稱的性質、解一元二次方程、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，注意不能漏解．