Question

6．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸，y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），∠ABO=30°，線段PQ的端點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿△OBA的邊按O→B→A→O運(yùn)動(dòng)一周，同時(shí)另一端點(diǎn)Q隨之在x軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，如果PQ=2$\sqrt{3}$，那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的總路程為（　�。�

• A． 6
• B． 6+2$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意正確畫出從O→B→A運(yùn)動(dòng)一周的圖形，分四種情況進(jìn)行計(jì)算：①點(diǎn)P從O→B時(shí)，路程是線段PQ的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)P從B→C時(shí)（QC⊥AB，C為垂足），點(diǎn)Q從O運(yùn)動(dòng)到Q，計(jì)算OQ的長(zhǎng)就是運(yùn)動(dòng)的路程；③點(diǎn)P從C→A時(shí)，點(diǎn)Q由Q向左運(yùn)動(dòng)，路程為QQ′；④點(diǎn)P從A→O時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程就是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程；最后相加即可．

解答 解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=2，
∴AB=4，BO=2$\sqrt{3}$，
①當(dāng)點(diǎn)P從O→B時(shí)，如圖1、圖2所示，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為2$\sqrt{3}$，
②如圖3所示，QC⊥AB，則∠ACQ=90°，即PQ運(yùn)動(dòng)到與AB垂直時(shí)，垂足為P，
當(dāng)點(diǎn)P從B→C時(shí)，
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°-60°=30°，

∴cos30°=$\frac{CQ}{AQ}$，
∴AQ=$\frac{CQ}{cos30°}$=4，
∴OQ=4-2=2，
則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為QO=2，
③當(dāng)點(diǎn)P從C→A時(shí)，如圖3所示，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為QQ′=4-2$\sqrt{3}$，
④當(dāng)點(diǎn)P從A→O時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為AO=2，
∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的總路程為：2$\sqrt{3}$+2+4-2$\sqrt{3}$+2=8，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是應(yīng)用三角函數(shù)定義來(lái)解直角三角形，此題的解題關(guān)鍵是理解題意，正確畫出圖形；線段的兩個(gè)端點(diǎn)看成是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段移動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)移動(dòng)問(wèn)題．