Question

1．如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C．
（1）求證：∠FBC=∠FCB；
（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圓的直徑，F(xiàn)A=2，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角關(guān)系證出∠FBC=∠CAD，再由角平分線和對(duì)頂角相等得出∠FAB=∠CAD，由圓周角定理得出∠FAB=∠FCB，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）得：∠FBC=∠FCB，由圓周角定理得出∠FAB=∠FBC，由公共角∠BFA=∠BFD，證出△AFB∽△BFD，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出BF，得出FD、AD的長(zhǎng)，由圓周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°，由三角函數(shù)求出∠FBA=30°，再由三角函數(shù)求出CD的長(zhǎng)即可．

解答 （1）證明：∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓，
∴∠FBC+∠FAC=180°，
∵∠CAD+∠FAC=180°，
∴∠FBC=∠CAD，
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠EAD=∠FAB，
∴∠FAB=∠CAD，
又∵∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB；
（2）解：由（1）得：∠FBC=∠FCB，
又∵∠FCB=∠FAB，
∴∠FAB=∠FBC，
∵∠BFA=∠BFD，
∴△AFB∽△BFD，
∴$\frac{BF}{FD}=\frac{FA}{BF}$，
∴BF²=FA•FD=12，
∴BF=2$\sqrt{3}$，
∵FA=2，
∴FD=6，AD=4，
∵AB為圓的直徑，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴tan∠FBA=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠FBA=30°，
又∵∠FDB=∠FBA=30°，
∴CD=AD•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．