Question

5．如圖1，已知AB∥CD，∠B=30°，∠D=120°；
（1）若∠E=60°，則∠F=90°；
（2）請(qǐng)?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；
（3）如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長(zhǎng)FG交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；
（2）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D+∠DFN=180°，于是得到結(jié)論；
（3）如圖2，過點(diǎn)F作FH∥EP，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=（2x+30）°，根據(jù)角平分線的定義得到∠PEF=$\frac{1}{2}$∠BEF=x°，∠EFG=$\frac{1}{2}$∠EFD=（x+15）°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°
∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；
故答案為：90°；

（2）如圖1，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°，
∴∠EFD=∠BEF+30°；

（3）如圖2，過點(diǎn)F作FH∥EP，
由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，
設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=（2x+30）°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF=$\frac{1}{2}$∠BEF=x°，∠EFG=$\frac{1}{2}$∠EFD=（x+15）°，
∵FH∥EP，
∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，
∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°，
∴∠P=15°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．