Question

20．在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分線，P是射線AC上任意一點（不與A、D、C三點重合），過點P作PQ⊥AB，垂足為Q，交直線BD于E．
（1）如圖，當點P在線段AC上時，說明∠PDE=∠PED．
（2）作∠CPQ的角平分線交直線AB于點F，則PF與BD有怎樣的位置關系？畫出圖形并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由PQ與AB垂直，得到一對直角相等，理由直角三角形的兩銳角互余得到兩對角互余，再BD為角平分線，利用角平分線定義得到一對角相等，再由對頂角相等，利用等量代換即可得證；
（2）分兩種情況，當P在線段AC上時，如圖1所示，可得出PF與BD平行，由第一問的結論利用等角對等邊得到PD=PE，利用角平分線定義及外角性質得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行即可得證；當P在AC延長線時，PF垂直于BD，由PD=PE，利用三線合一即可得證．

解答 解：（1）∵PQ⊥AB，
∴∠EQB=∠C=90°，
∴∠BEQ+∠EBQ=90°，∠CBD+∠PDE=90°，
∵BD為∠ABC的平分線，
∴∠CBD=∠EBQ，
∵∠PED=∠BEQ，
∴∠PDE=∠PED；
（2）當P在線段AC上時，如圖1所示，此時PF∥BD，

理由為：∵∠PDE=∠PED，
∴PD=PE，
∵PF為∠CPQ的平分線，∠CPQ為△PDE的外角，
∴∠CPF=∠QPF=∠PDE=∠PED，
∴PF∥BD；
當P在線段AC延長線上時，如圖2所示，PF⊥BD，
理由為：∵∠PDE=∠PED，
∴PD=PE，
∵PM為∠CPQ的平分線，
∴PF⊥BD．

點評 此題考查了平行線的判定，以及直角三角形的性質，熟練掌握平行線的判定是解本題的關鍵．