Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于點A、B．拋物線y=-$\frac{1}{3}{（x-m）^2}$+n的頂點P在直線y=-x+4上，與y軸交于點C（點P、C不與點B重合），以BC為邊作矩形BCDE，且CD=2，點P、D在y軸的同側(cè)．
（1）n=-m+4（用含m的代數(shù)式表示），點C的縱坐標(biāo)是-$\frac{1}{3}$m²-m+4（用含m的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)點P在矩形BCDE的邊DE上，且在第一象限時，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式．
（3）設(shè)矩形BCDE的周長為d（d＞0），求d與m之間的函數(shù)表達式．
（4）直接寫出矩形BCDE有兩個頂點落在拋物線上時m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的解析式寫出頂點P的坐標(biāo)（m，n），又因為點p在直線y=-x+4上，將p點坐標(biāo)代入可求出n，將二次函數(shù)化成一般式后得出點C的縱坐標(biāo)，并將其化成含m的代數(shù)式；
（2）當(dāng)點P在矩形BCDE的邊DE上，且在第一象限時，由CD=2可知，點P的橫坐標(biāo)為2，可求得縱坐標(biāo)為2，則P（2，2），得出拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；
（3）根據(jù)坐標(biāo)表示出邊BC的長，由矩形周長公式表示出d；
（4）首先點B與C不能重合，因此點B不會在拋物線上，則分兩類情況討論：①點C、D在拋物線上時；②點C、E在拋物線上時；由（1）的結(jié)論計算出m的值．

解答 解：（1）y=-$\frac{1}{3}$（x-m）²+n=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$mx-$\frac{1}{3}$m²+n，
∴P（m，n），
∵點P在直線y=-x+4上，
∴n=-m+4，
當(dāng)x=0時，y=-$\frac{1}{3}$m²+n=-$\frac{1}{3}$m²-m+4，
即點C的縱坐標(biāo)為：-$\frac{1}{3}$m²-m+4，
故答案為：-m+4，-$\frac{1}{3}$m²-m+4；
（2）∵四邊形BCDE是矩形，
∴DE∥y軸．
∵CD=2，
∴當(dāng)x=2時，y=2．
∴DE與AB的交點坐標(biāo)為（2，2）．                                           
∴當(dāng)點P在矩形BCDE的邊DE上時，拋物線的頂點P坐標(biāo)為（2，2）．
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為$y=-\frac{1}{3}{（x-2）^2}+2$．                             
（3）∵直線y=-x+4與y軸交于點B，
∴點B的坐標(biāo)是（0，4）．
當(dāng)點B與點C重合時，$-\frac{1}{3}{m^2}-m+4=4$．
解得m₁=0，m₂=-3．
i）當(dāng)m＜-3或m＞0時，如圖①、②，$BC=4-（-\frac{1}{3}{m^2}-m+4）=\frac{1}{3}{m^2}+m$．$d=2（\frac{1}{3}{m^2}+m+2）=\frac{2}{3}{m^2}+2m+4$．                                          

ii）當(dāng)-3＜m＜0時，如圖③，$BC=（-\frac{1}{3}{m^2}-m+4）-4=-\frac{1}{3}{m^2}-m$．$d=2（-\frac{1}{3}{m^2}-m+2）=-\frac{2}{3}{m^2}-2m+4$．                                      
（4）如圖④⑤，點C、D在拋物線上時，由CD=2可知對稱軸為：x=±1，即m=±1；
如圖⑥⑦，點C、E在拋物線上時，由B（0，4）和CD=2得：E（-2，4）
則4=-$\frac{1}{3}$（-2-m）²+（-m+4），解得：$m=\frac{{-7+\sqrt{33}}}{2}$、$m=\frac{{-7-\sqrt{33}}}{2}$．


綜上所述：m=1、m=-1、$m=\frac{{-7+\sqrt{33}}}{2}$、$m=\frac{{-7-\sqrt{33}}}{2}$．

點評 本題是二次函數(shù)與一次函數(shù)及矩形的綜合題，考查了函數(shù)與兩坐標(biāo)的交點坐標(biāo)，考查了二次函數(shù)的頂點式和矩形的性質(zhì)，本題的解題思路為：利用點B的坐標(biāo)和矩形的邊長CD=2可以表示出點E的坐標(biāo)或列式計算．