Question

12．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸交于點B，A，與反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象交于點C（m，m+1），D（n，2），過點C作CE⊥y軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F．
（1）求m，n的值；
（2）求證：△AEC≌△DFB；
（3）連接CO，DO并延長分別交反比例函數(shù)的圖象的另一支于點Q，P，判斷四邊形CQPD是否為矩形，若是，請說明理由；若不是，請在反比例函數(shù)圖象在第一象限的一支上另找一點C₁，連接C₁O并延長交其圖象的另一支于點C₂，使四邊形CC₁PC₂為矩形，請直接寫出點C₁的坐標．

Answer 1

分析 （1）把C與D坐標分別代入反比例解析式求出m與n的值即可；
（2）由（1）得出C與D坐標，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把C與D坐標代入求出k與b的值，確定出直線AB解析式，確定出A與B的坐標，根據(jù)CE垂直于y軸，DF垂直于x軸，確定出E與F坐標，進而得到AE=DF，CE=BF，且夾角為直角，相等，利用SAS即可得證；
（3）根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分，得到OC=OD，根據(jù)C與D坐標，求出OC與OD的長，得出OC≠OD，判斷得出四邊形CQPD不是矩形，根據(jù)所求四邊形DC₁PC₂為矩形，得到OC₁=OD，再由C₁在反比例y=$\frac{12}{x}$第一象限圖象上，設(shè)出C₁，表示出OC₁，求出a的值，即可確定出C₁的坐標即可．

解答 解：（1）把D（n，2）代入反比例解析式得：2=$\frac{12}{n}$，即n=6；
把C（m，m+1）代入反比例解析式得：m+1=$\frac{12}{m}$，即m²+m-12=0，
解得：m=3或m=-4（舍去），
則m=3，n=6；
（2）由（1）得：C（3，4），D（6，2），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把C與D坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{2}{3}$，b=6，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+6；
令y=0，得到x=9；令x=0，得到y(tǒng)=6，
∴A（0，6），B（9，0），
∵CE⊥y軸，DF⊥x軸，
∴E（0，4），F(xiàn)（6，0），
∴AE=2，CE=3，DF=2，BF=3，
∴AE=DF，∠AEC=∠DFB=90°，CE=BF，
∴△AEC≌△DFB（SAS）；
（3）根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分，得到OC=OD，
∵C（3，4），D（6，2），
∴OC=5，OD=2$\sqrt{10}$，
∴OC≠OD，
∴四邊形CQPD不是矩形，
根據(jù)所求四邊形DC₁PC₂為矩形，得到OC₁=OD，
∵C₁在反比例y=$\frac{12}{x}$第一象限圖象上，
∴設(shè)C₁（a，$\frac{12}{a}$），
∴OC₁=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{12}{a}）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
整理得：a⁴-40a²+144=0，即（a²-4）（a²-36）=0，
解得：a²=4或a²=36，
解得：a=2或a=6（點D舍去），
則C₁（2，6）．

點評 此題屬于反比例綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．