Question

4．如圖，平行四邊形ABCD在直角坐標(biāo)系中，tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，AD=6，OA的長(zhǎng)是方程x²-x-12=0的一個(gè)根，E是線段OD的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；
（2）求直線AE的解析式；
（3）在y軸上有一點(diǎn)M，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）可先求得OA的長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)的定義可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得OC的長(zhǎng)，利用平行四邊形的性質(zhì)可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由中點(diǎn)可先求得E點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AE解析式；
（3）由A、C坐標(biāo)可求得AC的長(zhǎng)，當(dāng)NC為菱形的邊時(shí)，則NC∥AM，由NC=AC可求得N點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)NC為對(duì)角線時(shí)，則可知AM和NC互相垂直且平分，則N點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，且與C點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可求得N點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）解方程x²-x-12=0可得x=4或x=-3，
∴OA=4，
∵tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{4}{OB}$=$\frac{4}{3}$，解得OB=3，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BC=AD=6，
∴OC=3，
∴C（3，0），D（6，4）；
（2）∵D（6，4），E為線段OD的中點(diǎn)，
∴E（3，2），且A（0，4），
∴可設(shè)直線AE解析式為y=kx+4，
∴3k+4=2，解得k=-$\frac{2}{3}$，
∴直線AE解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+4；
（3）∵A（0，4），C（3，0），
∴AC=5，
①當(dāng)NC為菱形的邊時(shí)，則CN∥AM且CN=AC=5，如圖1，

∵點(diǎn)M在y軸上，
∴N點(diǎn)縱坐標(biāo)為5或-5，且OC=3，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）或（3，-5）；
②當(dāng)NC為對(duì)角線時(shí)，則AM⊥NC且互相平分，
∴點(diǎn)N在x軸的負(fù)半軸上，且與C點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴N（-3，0）；
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)N，其坐標(biāo)為（3，5）或（3，-5）或（-3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及一元二次方程、三角函數(shù)定義、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、待定系數(shù)法及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中求得OB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用中點(diǎn)求得E點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出N點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．