Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x+1，直線AC交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)A．
（1）若等邊△OBD的頂點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，另一頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B作x軸的垂線l，在l上是否存在一點(diǎn)P，使得△AOP的周長(zhǎng)最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）試在直線AC上求出到兩坐標(biāo)軸距離相等的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由直線AC解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)即D點(diǎn)坐標(biāo)，過B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，利用等邊三角形的性質(zhì)可求得BE和OE的長(zhǎng)，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由O、C關(guān)于l對(duì)稱，則直線AC與l的交點(diǎn)即為所求得點(diǎn)P，利用直線AC解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用直線AC解析式可設(shè)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用到坐標(biāo)軸距離相等可得到方程，可求得滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{4}$x+1中，令y=0可求得x=4，
∴D（4，0），
過B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖1，

∵△OBD為等邊三角形，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=2，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=2$\sqrt{3}$，
∴B（2，2$\sqrt{3}$）；
（2）∵等邊△OBD是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為l，
∴點(diǎn)O與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴直線AC與直線l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，
把x=2代入y=-$\frac{1}{4}$x+1，得y=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$）；
（3）設(shè)滿足條件的點(diǎn)為Q，其坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{4}$m+1），
由題意可得-$\frac{1}{4}$m+1=m或-$\frac{1}{4}$m+1=-m，
解得m=$\frac{4}{5}$或m=-$\frac{4}{3}$，
∴在直線AC上求出到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{5}$）或（-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中作出點(diǎn)B到x軸的距離是解題的關(guān)鍵，在（2）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用條件得到關(guān)于坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．