Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知⊙D經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），OC與⊙D相交于點(diǎn)C，∠OCA=30°．
（1）求OB的長(zhǎng)；
（2）⊙D經(jīng)過怎樣平移，使得⊙D與y軸相切？（寫出一種平移方法即可）
（3）求陰影部分面積和．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接AB，由圓周角定理可得∠OBA的度數(shù)，解直角三角形BOA，即可求出OB的長(zhǎng)；
（2）過D作DM⊥OB，利用已知條件可求出DM的長(zhǎng)，則⊙D向右平移OD-DM即可使得⊙D與y軸相切；
（3）利用兩個(gè)扇形的面積-兩個(gè)三角形的面積即可得到陰影部分面積和．

解答：解：（1）連接AB，
∵∠OCA=30°，
∴∠OBA=∠0CA=30°，
∵AO⊥BO，
∴∠BOA=90°，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），
∴OA=4，
∴OB=4

3

；
（2）過D作DM⊥OB，
∵∠BOA=90°，
∴AB為圓的直徑，
∵∠OBA=30°，OA=4，
∴AB=8，
∴BD=4，
∴DM=2，
∴⊙D向右平移OD-DM=2，即可使得⊙D與y軸相切；
（3）∵S_扇形BDO=

nπr2

360

=

120×π×16

360

=

16π

3

，S_△BDO=

1

2

DM•BO=

1

2

×2×4

3

=4

3

，S_扇形ODA=

nπr2

360

=

60×π×16

360

=

8π

3

，S_△ODA=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
∴陰影部分面積和=

16π

3

+

8π

3

-4

3

-4

3

=8π-8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了和圓有關(guān)的綜合題目，用到的知識(shí)點(diǎn)有圓周角定理、平移的性質(zhì)、解直角三角形的有關(guān)知識(shí)、特殊角的三角函數(shù)值、扇形面積公式運(yùn)用以及三角形面積公式運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．